1. 如图6-6，在四边形ABCD中，AD//BC，M，N，P，Q分别为AD，BC，BD，AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。

1. 证明：如答图 6 - 1，连接 $MP$，$PN$，$NQ$，$QM$。
$\because M$，$P$ 分别是 $AD$，$BD$ 的中点，$\therefore PM$ 是 $△ ABD$ 的中位线。$\therefore PM// AB$，$PM=\frac{1}{2}AB$。

同理 $NQ=\frac{1}{2}AB$，$NQ// AB$，$\therefore PM=NQ$，且 $PM// NQ$。$\therefore$ 四边形 $MPNQ$ 是平行四边形。$\because MN$ 与 $PQ$ 为四边形 $MPNQ$ 的对角线，$\therefore MN$ 与 $PQ$ 互相平分。

2. 如图6-7， $ \Box ABCD $的对角线AC，BD相交于点O， $ AB\bot AC $， $ AB=3 $， $ BC=5 $，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动。连接PO并延长，交BC于点Q。设点P的运动时间为 t s。
(1) 求 BQ的长；（用含 t的代数式表示）
(2) 当四边形ABQP是平行四边形时，求 t的值；
(3) 当点 O在线段 AP的垂直平分线上时，直接写出 t的值。

2. 解：(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore OA=OC$，$AD// BC$。$\therefore ∠ PAO=∠ QCO$。$\because ∠ AOP=∠ COQ$，$\therefore △ APO≌△ CQO$ (ASA)。$\therefore CQ=AP=t$。$\because BC=5$，$\therefore BQ=BC - CQ=5 - t$。
(2) $\because AP// BQ$，当 $AP=BQ$ 时，四边形 $ABQP$ 是平行四边形，$\therefore t=5 - t$。$\therefore t=\frac{5}{2}$。$\therefore$ 当 $t=\frac{5}{2}$ 时，四边形 $ABQP$ 是平行四边形。
(3)当点 $O$ 在线段 $AP$ 的垂直平分线上时，$t$ 的值为 $\frac{16}{5}$。 解析：如答图 6 - 2，$EF$ 经过点 $O$，且恰好垂直平分 $AP$。

$\because AB=3$，$BC=5$，$AB⊥ AC$，$\therefore AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。$\therefore AO=CO=\frac{1}{2}AC=2$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· EF$，$\therefore AB· AC=BC· EF$。$\therefore 3×4=5× EF$。$\therefore EF=\frac{12}{5}$。$\therefore OE=\frac{6}{5}$。
$\because OE$ 是 $AP$ 的垂直平分线，$\therefore AE=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}t$，$∠ AEO=90°$。
由勾股定理，得 $AE^{2}+OE^{2}=AO^{2}$，$\therefore (\frac{1}{2}t)^{2}+(\frac{6}{5})^{2}=2^{2}$。$\therefore t=\frac{16}{5}$ 或 $t=-\frac{16}{5}$ (舍去)。$\therefore$ 当点 $O$ 在线段 $AP$ 的垂直平分线上时，$t$ 的值为 $\frac{16}{5}$。