13. 求满足下列条件的锐角 $ \alpha $:
(1) $ - \sqrt{3} \tan \alpha + \sqrt{3} = 0 $;
(2) $ 2 \cos \alpha - \sqrt{2} = 0 $.
(1) $ - \sqrt{3} \tan \alpha + \sqrt{3} = 0 $;
(2) $ 2 \cos \alpha - \sqrt{2} = 0 $.
答案
解：$-\sqrt 3tan α=-\sqrt 3$
tan α=1
∴α=45°
解：$cosα=\frac {\sqrt 2}2$
∴α=45°
tan α=1
∴α=45°
解：$cosα=\frac {\sqrt 2}2$
∴α=45°
14. 如图,在等边三角形 $ ABC $ 中,点 $ D $、$ E $ 分别在边 $ AB $、$ BC $ 上,$ AD = BE $, $ AE $ 与 $ CD $ 相交于点 $ F $, $ AG ⊥ CD $,垂足为 $ G $. 求 $ \frac{AG}{AF} $ 的值.
答案
解：∵△ABC为等边三角形
∴AC=AB，∠CAD=∠B=60°
在△ADC和△BEA中
$\begin{cases}{AC=AB}\\{∠CAD=∠B}\\{AD=BE}\end{cases}$
∴$△ADC≌△BEA(\mathrm {SAS})$
∴∠ACD=∠BAE
∵∠AFG=∠ACD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°
∴在Rt△AFG 中，$sin ∠AFG=\frac {AG}{AF}=\frac {\sqrt 3}2$
∴$\frac {AG}{AF} $的值为$\frac {\sqrt 3}2$
∴AC=AB，∠CAD=∠B=60°
在△ADC和△BEA中
$\begin{cases}{AC=AB}\\{∠CAD=∠B}\\{AD=BE}\end{cases}$
∴$△ADC≌△BEA(\mathrm {SAS})$
∴∠ACD=∠BAE
∵∠AFG=∠ACD+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°
∴在Rt△AFG 中，$sin ∠AFG=\frac {AG}{AF}=\frac {\sqrt 3}2$
∴$\frac {AG}{AF} $的值为$\frac {\sqrt 3}2$
15. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 30^{\circ} $, $ P $ 是 $ AB $ 上的一点,$ \frac{BP}{PA} = \frac{1}{2} $, $ PQ ⊥ BC $,垂足为 $ Q $,连接 $ AQ $. 求 $ \cos \angle AQC $ 的值.
答案
解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D
设PQ=a
∵PQ=a，∠B=30°，PQ⊥BC
∴PB=2a，$BQ=\sqrt 3a$
∵$\frac {BP}{PA}=\frac 12$
∴PA=4a，AB=PA+PB=6a
在Rt△ABD中，∵∠B=30°
∴$AD=\frac 12AB=3a，$$BD=\sqrt 3AD=3\sqrt 3a$
∴$QD=BD-BQ=3\sqrt 3a-\sqrt 3a=2\sqrt 3a$
在Rt△AQD中，∵AD=3a，$QD=2\sqrt 3a$
∴$AQ=\sqrt {AD^2+QD^2}=\sqrt {21}a$
∴$cos∠AQC=\frac {QD}{AQ}=\frac {2\sqrt 3a}{\sqrt {21}a}=\frac {2\sqrt 7}7$
