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如图，▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 CD 的中点，BD = 12，则△DOE 的周长为.
答案
15
解析
∵▱ABCD周长为36，∴CD+BC=18（平行四边形对边相等，周长=2(邻边和)）。
∵对角线BD=12，O为BD中点（平行四边形对角线互相平分），∴DO=BD/2=6。
∵E是CD中点，O是BD中点，∴OE是△BCD中位线（三角形中位线定义），∴OE=BC/2。
又∵DE=CD/2（E为CD中点），∴OE+DE=(BC+CD)/2=18/2=9。
∴△DOE周长=DO+OE+DE=6+9=15。
1. 下列条件中，不能确定四边形 ABCD 是平行四边形的是()
A.AB = CD，AD//BC
B.AB = CD，AB//CD
C.AB//CD，AD//BC
D.AB = CD，AD = BC
A.AB = CD，AD//BC
B.AB = CD，AB//CD
C.AB//CD，AD//BC
D.AB = CD，AD = BC
答案
A
解析
选项A中，AB=CD，AD//BC，可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；选项B中，AB=CD且AB//CD，符合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；选项C中，AB//CD且AD//BC，符合两组对边分别平行的四边形是平行四边形；选项D中，AB=CD且AD=BC，符合两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
2. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 8，BC = 6.若 DE 是△ABC 的中位线，延长 DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点 F，则线段 DF 的长为()
A.6
B.8
C.10
D.7
A.6
B.8
C.10
D.7
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(8²+6²)=10。
DE是△ABC的中位线，D为AB中点，E为AC中点，故DE//BC，DE=1/2BC=3，EC=1/2AC=5。
CF平分∠ACM，∠ACF=∠FCM。
∵DE//BC，∴∠EFC=∠FCM（内错角相等），∴∠EFC=∠ACF，故EF=EC=5。
DF=DE+EF=3+5=8。
DE是△ABC的中位线，D为AB中点，E为AC中点，故DE//BC，DE=1/2BC=3，EC=1/2AC=5。
CF平分∠ACM，∠ACF=∠FCM。
∵DE//BC，∴∠EFC=∠FCM（内错角相等），∴∠EFC=∠ACF，故EF=EC=5。
DF=DE+EF=3+5=8。
3. 如图，CD 是△ABC 的中线，E，F 分别是 AC，DC 的中点，若 EF = 1，则 AB =.
答案
4
解析
∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF = $\frac{1}{2}$AD。∵EF = 1，∴AD = 2EF = 2×1 = 2。∵CD是△ABC的中线，∴D是AB的中点，∴AB = 2AD = 2×2 = 4。
4. 如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E，F 分别是 AB，CD 的中点，AD = BC，∠PEF = 30°，则∠PFE 的度数是.
答案
30°
解析
∵P是BD中点，E是AB中点，∴EP是△ABD的中位线，∴EP=1/2AD。
∵P是BD中点，F是CD中点，∴FP是△BCD的中位线，∴FP=1/2BC。
∵AD=BC，∴EP=FP，△EPF是等腰三角形。
∴∠PFE=∠PEF=30°。
∵P是BD中点，F是CD中点，∴FP是△BCD的中位线，∴FP=1/2BC。
∵AD=BC，∴EP=FP，△EPF是等腰三角形。
∴∠PFE=∠PEF=30°。
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CF⊥BE，连接 AE，G 是 AB 的中点，连接 GF，若 AE = 4，则 GF =.
答案
2
解析
在平行四边形ABCD中，AB//CD，∴∠ABE=∠BEC。∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠BEC=∠CBE，∴BC=EC。延长CF交AB于H，∵CF⊥BE，∴∠BFC=∠BFH=90°。又∵BF=BF，∠CBF=∠HBF，∴△BFC≌△BFH（ASA），∴CF=FH，BC=BH，即F为CH中点。∵BC=EC，BC=BH，∴BH=EC。∵AB=CD，∴AB-BH=CD-EC，即AH=DE。∵AB//CD，AH=DE，∴四边形AHED是平行四边形，∴AE=DH=4。∵G是AB中点，F是CH中点，∴GF是△AHD的中位线，∴GF=1/2 DH=1/2 AE=2。
6. 如图，在△ABC 中，延长 BC 至点 D，使得 $ CD = \frac{1}{2}BC $，过 AC 中点 E 作 EF//CD(点 F 位于点 E 右侧)，且 EF = 2CD，连接 DF.若 AB = 8，则 DF =.
答案
4
解析
设 $ BC = 2x $，则 $ CD = \frac{1}{2}BC = x $，故 $ EF = 2CD = 2x $。
过 $ E $ 作 $ EG // AB $ 交 $ BC $ 于 $ G $，
∵ $ E $ 是 $ AC $ 中点，$ EG // AB $，
∴ $ G $ 是 $ BC $ 中点（三角形中位线定理），
∴ $ BG = GC = x $，且 $ EG = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4 $。
∵ $ GC = x $，$ CD = x $，∴ $ GD = GC + CD = 2x $，
又 $ EF // CD $，即 $ EF // GD $，且 $ EF = 2x = GD $，
∴ 四边形 $ EFDG $ 是平行四边形（一组对边平行且相等），
∴ $ DF = EG = 4 $。
过 $ E $ 作 $ EG // AB $ 交 $ BC $ 于 $ G $，
∵ $ E $ 是 $ AC $ 中点，$ EG // AB $，
∴ $ G $ 是 $ BC $ 中点（三角形中位线定理），
∴ $ BG = GC = x $，且 $ EG = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4 $。
∵ $ GC = x $，$ CD = x $，∴ $ GD = GC + CD = 2x $，
又 $ EF // CD $，即 $ EF // GD $，且 $ EF = 2x = GD $，
∴ 四边形 $ EFDG $ 是平行四边形（一组对边平行且相等），
∴ $ DF = EG = 4 $。
7. 如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD = 7，BD = 4，CD = 3，E，F，G，H 分别是 AB，BD，CD，AC 的中点，则四边形 EFGH 的周长为.
答案
12
解析
在Rt△BDC中，BD=4，CD=3，由勾股定理得BC=√(BD²+CD²)=√(4²+3²)=5。
E、F、G、H分别为AB、BD、CD、AC中点，根据三角形中位线性质：
EF是△ABD中位线，EF=1/2AD=7/2；
HG是△ACD中位线，HG=1/2AD=7/2；
EH是△ABC中位线，EH=1/2BC=5/2；
FG是△DBC中位线，FG=1/2BC=5/2。
四边形EFGH周长=EF+FG+GH+HE=7/2+5/2+7/2+5/2=12。
E、F、G、H分别为AB、BD、CD、AC中点，根据三角形中位线性质：
EF是△ABD中位线，EF=1/2AD=7/2；
HG是△ACD中位线，HG=1/2AD=7/2；
EH是△ABC中位线，EH=1/2BC=5/2；
FG是△DBC中位线，FG=1/2BC=5/2。
四边形EFGH周长=EF+FG+GH+HE=7/2+5/2+7/2+5/2=12。
