1. 综合实践课上，嘉嘉用$8$个大小相等的含$45^{\circ}$角的直角三角尺拼成了一个环状图案，如图①。若淇淇尝试用含$60^{\circ}$角的直角三角尺拼成类似的环状图案，如图②，还需要含$60^{\circ}$角的直角三角尺的数量为()

A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$12$

C

2. 图①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美。图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5$的度数是()

A.$180^{\circ}$
B.$360^{\circ}$
C.$450^{\circ}$
D.$540^{\circ}$

B

将∠1、∠2、∠3、∠4、∠5视为一个五边形的五个外角。根据三角形内角和定理，五边形内角和为(5-2)×180°=540°。每个外角与相邻内角互补，五个内角与五个外角之和为5×180°=900°，故五个外角和为900°-540°=360°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°。

3. 已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为$2160^{\circ}$，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线。

9

设正多边形的边数为n，根据题意得$(n-2)×180^{\circ}+360^{\circ}=2160^{\circ}$，解得n=12。从n边形一个顶点出发可作(n-3)条对角线，所以12-3=9。

4. 提升题 如图，正六边形$ABCDEF$和正五边形$EGHPQ$的边$CD$，$GH$在同一条直线上，正五边形在正六边形的右侧，则$∠DEG$的度数为。

48

正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角为$720°÷6=120°$，故$∠ CDE=120°$。正六边形外角为$360°÷6=60°$，则$DE$与直线$CD$（即直线$GH$）的夹角$∠ EDG=60°$。
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，每个内角为$540°÷5=108°$，故$∠ EGH=108°$。因为$GH$在直线$CD$上，所以$∠ EGD=180°-∠ EGH=180°-108°=72°$。
在$△ DEG$中，$∠ DEG=180°-∠ EDG-∠ EGD=180°-60°-72°=48°$。

5. 已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为$2:1$，求这个多边形的边数。

设这个多边形的一个外角为$x$，则一个内角为$2x$。
因为多边形的内角与相邻外角互补，所以$x + 2x = 180°$，解得$x = 60°$。
由于多边形外角和为$360°$，且每个外角都相等，所以边数$n = 360° ÷ 60° = 6$。
结论：这个多边形的边数为$6$。

6. 已知一个多边形的边数为$n$。
（1）若这个多边形的内角和是它的外角和的$3$倍，求$n$的值；
（2）若过一个顶点的对角线有$8$条，求这个$n$边形对角线的总数。

（1）
根据多边形内角和公式，$n$边形内角和为$(n - 2)×180^{\circ}$，多边形的外角和恒为$360^{\circ}$。
已知内角和是外角和的$3$倍，则可列出方程$(n - 2)×180 = 3×360$，
$n - 2=\frac{3×360}{180}$，
$n - 2 = 6$，
解得$n = 8$。
（2）
因为$n$边形过一个顶点的对角线有$n - 3$条，已知过一个顶点的对角线有$8$条，则$n - 3 = 8$，解得$n = 11$。
根据$n$边形对角线总数公式$\frac{n(n - 3)}{2}$，把$n = 11$代入可得：$\frac{11×(11 - 3)}{2}=\frac{11×8}{2}=44$（条）。
综上，答案依次为：（1）$n = 8$；（2）$44$条。