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5. 在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$. 对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $E$. 小红说：若添加 $AE = CE$，则四边形 $ABCD$ 是平行四边形；小星说：若添加 $∠ ABD = ∠ BDC$，则四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
（1）请选择一位同学的说法，并证明；
（2）在（1）的前提下，若 $AC ⊥ BC$，$AB = 5$，$AC = 4$，求 $BD$ 的长.
（1）请选择一位同学的说法，并证明；
（2）在（1）的前提下，若 $AC ⊥ BC$，$AB = 5$，$AC = 4$，求 $BD$ 的长.
答案
（1）选择小红的说法。
证明：∵AD//BC，∴∠DAE=∠BCE。
在△ADE和△CBE中，∠DAE=∠BCE，AE=CE，∠AED=∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AD=BC。
∵AD//BC且AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=CE=2，BE=DE。
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，BC=√(AB²-AC²)=√(5²-4²)=3。
在Rt△BCE中，BE=√(BC²+CE²)=√(3²+2²)=√13。
∴BD=2BE=2√13。
证明：∵AD//BC，∴∠DAE=∠BCE。
在△ADE和△CBE中，∠DAE=∠BCE，AE=CE，∠AED=∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AD=BC。
∵AD//BC且AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=CE=2，BE=DE。
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，BC=√(AB²-AC²)=√(5²-4²)=3。
在Rt△BCE中，BE=√(BC²+CE²)=√(3²+2²)=√13。
∴BD=2BE=2√13。
连接三角形的线段叫三角形的中位线，三角形的中位线三角形的第三边，并且等于第三边的。
符号语言：如图，在△ABC中，若AD = DC，BE = EC，则。
思考 一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区别？三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
符号语言：如图，在△ABC中，若AD = DC，BE = EC，则。
思考 一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区别？三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
答案
两边中点；平行于；一半；DE//AB，DE=1/2AB
解析
三角形中位线的定义为连接三角形两边中点的线段；其性质是平行于第三边且等于第三边的一半。符号语言中，因AD=DC，BE=EC，故D、E分别为AC、BC中点，所以DE是中位线，满足DE//AB且DE=1/2AB。一个三角形有三条中位线，中位线连接两边中点，中线连接顶点与对边中点，两者不同。中位线与第三边的关系是平行且等于第三边一半。
填空(1)在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，若AB = 8 cm，则DE//，DE = 。
(2)在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，AF，则DE是，AF是。
(2)在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，AF，则DE是，AF是。
答案
【解析】：
(1)
因为D，E分别是AC，BC的中点。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
在$△ ABC$中，DE是中位线，AB是第三边，已知$AB = 8cm$，所以$DE// AB$，且$DE=\frac{1}{2}AB = 4cm$。
(2)
因为D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形中位线定义，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，所以在$△ ABC$中，DE是$△ ABC$的中位线。
又因为F是BC的中点，A是顶点，连接$△ ABC$顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，所以AF是$△ ABC$的中线。
【答案】：(1) AB，4 cm；(2) $△ ABC$的中位线，$△ ABC$的中线。
(1)
因为D，E分别是AC，BC的中点。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
在$△ ABC$中，DE是中位线，AB是第三边，已知$AB = 8cm$，所以$DE// AB$，且$DE=\frac{1}{2}AB = 4cm$。
(2)
因为D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形中位线定义，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，所以在$△ ABC$中，DE是$△ ABC$的中位线。
又因为F是BC的中点，A是顶点，连接$△ ABC$顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，所以AF是$△ ABC$的中线。
【答案】：(1) AB，4 cm；(2) $△ ABC$的中位线，$△ ABC$的中线。
解析
(1)
因为D，E分别是AC，BC的中点。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
在$△ ABC$中，DE是中位线，AB是第三边，已知$AB = 8cm$，所以$DE// AB$，且$DE=\frac{1}{2}AB = 4cm$。
(2)
因为D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形中位线定义，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，所以在$△ ABC$中，DE是$△ ABC$的中位线。
又因为F是BC的中点，A是顶点，连接$△ ABC$顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，所以AF是$△ ABC$的中线。
因为D，E分别是AC，BC的中点。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
在$△ ABC$中，DE是中位线，AB是第三边，已知$AB = 8cm$，所以$DE// AB$，且$DE=\frac{1}{2}AB = 4cm$。
(2)
因为D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形中位线定义，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，所以在$△ ABC$中，DE是$△ ABC$的中位线。
又因为F是BC的中点，A是顶点，连接$△ ABC$顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线，所以AF是$△ ABC$的中线。
例1 如图，等边△ABC的周长为30 cm，D，E分别是AB，AC的中点，求DE的长。
答案
∵△ABC是等边三角形，周长为30cm，
∴AB=BC=AC=30÷3=10cm。
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线。
∴DE=1/2BC=1/2×10=5cm。
答：DE的长为5cm。
变式训练 如图，在△ABC中，已知AB = 6，AC = 10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC的中点，求DE的长。
答案
【解析】：延长BD交AC于点F。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠FAD。
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ADF=90°。
在△ABD和△AFD中，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF，
∴△ABD≌△AFD（ASA）。
∴AB=AF=6，BD=DF。
∵AC=10，
∴FC=AC-AF=10-6=4。
∵E为BC中点，D为BF中点，
∴DE是△BFC的中位线。
∴DE=1/2FC=1/2×4=2。
【答案】：2
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠FAD。
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ADF=90°。
在△ABD和△AFD中，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF，
∴△ABD≌△AFD（ASA）。
∴AB=AF=6，BD=DF。
∵AC=10，
∴FC=AC-AF=10-6=4。
∵E为BC中点，D为BF中点，
∴DE是△BFC的中位线。
∴DE=1/2FC=1/2×4=2。
【答案】：2
解析
延长BD交AC于点F。
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD。
∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADF=90°。
在△ABD和△AFD中，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF，
∴△ABD≌△AFD（ASA）。
∴AB=AF=6，BD=DF。
∵AC=10，∴FC=AC-AF=10-6=4。
∵E为BC中点，D为BF中点，
∴DE是△BFC的中位线。
∴DE=1/2FC=1/2×4=2。
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD。
∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADF=90°。
在△ABD和△AFD中，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF，
∴△ABD≌△AFD（ASA）。
∴AB=AF=6，BD=DF。
∵AC=10，∴FC=AC-AF=10-6=4。
∵E为BC中点，D为BF中点，
∴DE是△BFC的中位线。
∴DE=1/2FC=1/2×4=2。
例2 如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF = $\frac{1}{2}$BC，连接CD，EF。
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图2，若△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积。
名师导引 掌握三角形中位线定义和性质是解决问题的关键。
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；
（2）如图2，若△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积。
名师导引 掌握三角形中位线定义和性质是解决问题的关键。
答案
（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC。∵CF=$\frac{1}{2}$BC，∴DE=CF。又∵DE//BC，CF在BC的延长线上，∴DE//CF。∴四边形DEFC是平行四边形。
（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为8，∴BC=8，高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}×8=4\sqrt{3}$。∵D，E为AB，AC中点，∴DE是中位线，DE=$\frac{1}{2}$BC=4，DE到BC的距离为$\frac{1}{2}h=2\sqrt{3}$。∵四边形DEFC是平行四边形，∴其面积=底×高=CF×距离=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$。
（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为8，∴BC=8，高h=$\frac{\sqrt{3}}{2}×8=4\sqrt{3}$。∵D，E为AB，AC中点，∴DE是中位线，DE=$\frac{1}{2}$BC=4，DE到BC的距离为$\frac{1}{2}h=2\sqrt{3}$。∵四边形DEFC是平行四边形，∴其面积=底×高=CF×距离=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$。
