5. 实践探究:在一次数学活动课上,有一小组学生在剪纸的时候进行了如下讨论:
有一位学生问小海:“任意一张直角三角形的纸片,都能剪成三个两两相似的小三角形纸片吗?”于是小海在自己的作业本上画了草图,并给出了解决方案.
如图15,任意一张直角三角形纸片Rt△ABC,都能剪成三个两两相似的小三角形纸片.

第一步,过Rt△ABC的直角顶点,作斜边AC上的高BD,沿BD剪开,得到两个小的直角三角形纸片,分别记为Rt△ABD和Rt△BCD;
第二步,选择其中的一个小直角三角形纸片,不妨选择Rt△BCD,再过其直角顶点D,作斜边BC上的高DE,沿DE剪开,得到两个更小的直角三角形,分别记为Rt△BDE和Rt△DCE.
剪得的三个小的直角三角形,它们两两都相似.
同学们都为小海点赞.
听了小海的解释,小南也向大家提出了一个观点:“任意一张钝角三角形纸片,都能剪成三个小三角形纸片,其中两个三角形与原三角形相似.”
请判断一下,小南同学的观点是否正确? 如果正确,请画出图形并证明;如果不正确,请简单说明理由.
有一位学生问小海:“任意一张直角三角形的纸片,都能剪成三个两两相似的小三角形纸片吗?”于是小海在自己的作业本上画了草图,并给出了解决方案.
如图15,任意一张直角三角形纸片Rt△ABC,都能剪成三个两两相似的小三角形纸片.
第一步,过Rt△ABC的直角顶点,作斜边AC上的高BD,沿BD剪开,得到两个小的直角三角形纸片,分别记为Rt△ABD和Rt△BCD;
第二步,选择其中的一个小直角三角形纸片,不妨选择Rt△BCD,再过其直角顶点D,作斜边BC上的高DE,沿DE剪开,得到两个更小的直角三角形,分别记为Rt△BDE和Rt△DCE.
剪得的三个小的直角三角形,它们两两都相似.
同学们都为小海点赞.
听了小海的解释,小南也向大家提出了一个观点:“任意一张钝角三角形纸片,都能剪成三个小三角形纸片,其中两个三角形与原三角形相似.”
请判断一下,小南同学的观点是否正确? 如果正确,请画出图形并证明;如果不正确,请简单说明理由.
答案
解:小南的观点正确。
画图步骤:
1. 作钝角$△ ABC$,使$∠ ABC$为钝角;
2. 在$BC$边上取点$D$,作$∠ BAD=∠ ACB$,$AD$交$BC$于$D$;
3. 过点$D$作$DE// AB$,交$AC$于点$E$,连接$AD$、$DE$。
此时$△ ABC$被剪成$△ ABD$、$△ ADE$、$△ CDE$三个小三角形。
证明:
1. 证明$△ ABD∽△ CBA$:
在$△ ABD$和$△ CBA$中,
$∠ BAD=∠ BCA$,
$∠ ABD=∠ CBA$,
$\therefore △ ABD∽△ CBA$。
2. 证明$△ CDE∽△ CBA$:
$\because DE// AB$,
$\therefore ∠ CDE=∠ CBA$,$∠ CED=∠ CAB$,
$\therefore △ CDE∽△ CBA$。
综上,剪成的三个小三角形中,$△ ABD$和$△ CDE$与原$△ ABC$相似,故小南的观点正确。
画图步骤:
1. 作钝角$△ ABC$,使$∠ ABC$为钝角;
2. 在$BC$边上取点$D$,作$∠ BAD=∠ ACB$,$AD$交$BC$于$D$;
3. 过点$D$作$DE// AB$,交$AC$于点$E$,连接$AD$、$DE$。
此时$△ ABC$被剪成$△ ABD$、$△ ADE$、$△ CDE$三个小三角形。
证明:
1. 证明$△ ABD∽△ CBA$:
在$△ ABD$和$△ CBA$中,
$∠ BAD=∠ BCA$,
$∠ ABD=∠ CBA$,
$\therefore △ ABD∽△ CBA$。
2. 证明$△ CDE∽△ CBA$:
$\because DE// AB$,
$\therefore ∠ CDE=∠ CBA$,$∠ CED=∠ CAB$,
$\therefore △ CDE∽△ CBA$。
综上,剪成的三个小三角形中,$△ ABD$和$△ CDE$与原$△ ABC$相似,故小南的观点正确。
登录