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一、选择题(每小题4分,共32分)
1. 下列选项中,不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是 ()
A. $AD // BC$,$AB // CD$
B. $AB // CD$,$AB = CD$
C. $AD // BC$,$AB = DC$
D. $AB = DC$,$AD = BC$
1. 下列选项中,不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是 ()
A. $AD // BC$,$AB // CD$
B. $AB // CD$,$AB = CD$
C. $AD // BC$,$AB = DC$
D. $AB = DC$,$AD = BC$
答案
C
解析
A 选项：根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，$AD// BC$且$AB// CD$，可以判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
B 选项：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，$AB// CD$且 $AB = CD$，可以判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
C 选项：$AD// BC$，$AB = DC$，一组对边平行，另一组对边相等的情况，有可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形。
D 选项：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，$AB = DC$且 $AD = BC$，可以判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
B 选项：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，$AB// CD$且 $AB = CD$，可以判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
C 选项：$AD// BC$，$AB = DC$，一组对边平行，另一组对边相等的情况，有可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形。
D 选项：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，$AB = DC$且 $AD = BC$，可以判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
2. 如图,在 $□ ABCD$ 中,对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,则下列结论一定正确的是 ()
A.$AC = BD$
B.$OA = OC$
C.$AC ⊥ BD$
D.$∠ ADC = ∠ BCD$
A.$AC = BD$
B.$OA = OC$
C.$AC ⊥ BD$
D.$∠ ADC = ∠ BCD$
答案
B
解析
在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以OA=OC，OB=OD。选项A中AC=BD是矩形的性质，平行四边形不一定是矩形，故A错误；选项C中AC⊥BD是菱形的性质，平行四边形不一定是菱形，故C错误；选项D中∠ADC与∠BCD是邻角，平行四边形邻角互补，不一定相等，故D错误；选项B符合平行四边形对角线互相平分的性质，故B正确。
3. 如图是一个破损的 $□ ABCD$ 纸片,已知 $∠ B = 80^{\circ}$,则破损的 $∠ D$ 的度数是 ()
A.$80^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$95^{\circ}$
A.$80^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$95^{\circ}$
答案
A
解析
因为四边形ABCD是平行四边形，平行四边形的对角相等，已知∠B=80°，所以∠D=∠B=80°。
4. 如图,四边形 $ABCD$ 为平行四边形,$EB ⊥ BC$ 于点 $B$,$ED ⊥ CD$ 于点 $D$.若 $∠ E = 55^{\circ}$,则 $∠ A$ 的度数是 ()
A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$125^{\circ}$
D.$135^{\circ}$
答案
C
解析
在四边形$EBCD$中，$EB⊥BC$，$ED⊥CD$，则$∠EBC=∠EDC=90^{\circ}$。已知$∠E=55^{\circ}$，四边形内角和为$360^{\circ}$，故$∠BCD=360^{\circ}-∠E-∠EBC-∠EDC=360^{\circ}-55^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=125^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$∠A=∠BCD=125^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$∠A=∠BCD=125^{\circ}$。
5. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$E$ 为边 $BC$ 延长线上一点,连结 $AE$、$DE$.若 $□ ABCD$ 的面积为 $12$,则 $△ ADE$ 的面积为 ()
A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
答案
C
解析
在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，且 $AD = BC$。平行四边形的面积为底乘以高，设 $AD$ 边上的高为 $h$，则 $S_{□ABCD} = AD × h = 12$。
$△ ADE$ 以 $AD$ 为底，其高与平行四边形 $ABCD$ 中 $AD$ 边上的高相同（因为 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，$AD // BE$，平行线间的距离处处相等）。所以 $△ ADE$ 的面积为 $\frac{1}{2} × AD × h = \frac{1}{2} × 12 = 6$。
$△ ADE$ 以 $AD$ 为底，其高与平行四边形 $ABCD$ 中 $AD$ 边上的高相同（因为 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，$AD // BE$，平行线间的距离处处相等）。所以 $△ ADE$ 的面积为 $\frac{1}{2} × AD × h = \frac{1}{2} × 12 = 6$。
6. 如图,在腰长为 $8$ 的等腰三角形 $ABC$ 中,$AB = AC$,$E$、$M$、$F$ 分别是 $AB$、$BC$、$AC$ 上的点,并且 $ME // AC$,$MF // AB$,则四边形 $MEAF$ 的周长是 ()
A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$16$
A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$16$
答案
D
解析
∵ $ME // AC$，$MF // AB$，
∴ 四边形 $MEAF$ 是平行四边形，
∴ $ME = AF$，$MF = AE$。
∵ $AB = AC = 8$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
∵ $ME // AC$，
∴ $∠ EMB = ∠ C = ∠ B$，
∴ $ME = BE$。
同理，$MF = FC$。
∴ 四边形 $MEAF$ 的周长为 $ME + EA + AF + FM = BE + EA + AF + FC = AB + AC = 8 + 8 = 16$。
7. 如图,将 $□ ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折叠,使点 $B$ 落在 $B'$ 处.若 $∠ 1 = ∠ 2 = 44^{\circ}$,则 $∠ B =$ ()
A.$66^{\circ}$
B.$104^{\circ}$
C.$114^{\circ}$
D.$124^{\circ}$
A.$66^{\circ}$
B.$104^{\circ}$
C.$114^{\circ}$
D.$124^{\circ}$
答案
C
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠1=∠BCB'（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1=44°，∴∠BCB'=44°。
由折叠性质得∠ACB=∠ACB'，∴∠BCB'=∠ACB+∠ACB'=2∠ACB，∴2∠ACB=44°，∠ACB=22°。
∵AB//CD，∴∠BAC=∠2=44°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-44°-22°=114°。
∵∠1=44°，∴∠BCB'=44°。
由折叠性质得∠ACB=∠ACB'，∴∠BCB'=∠ACB+∠ACB'=2∠ACB，∴2∠ACB=44°，∠ACB=22°。
∵AB//CD，∴∠BAC=∠2=44°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-44°-22°=114°。
8. 如图,在 $△ ABC$ 中,$∠ BAC = 45^{\circ}$,$AB = AC = 8$,$P$ 为 $AB$ 边上的一动点,以 $PA$、$PC$ 为边作平行四边形 $PAQC$,则线段 $AQ$ 长度的最小值为 ()
A.$6$
B.$8$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
A.$6$
B.$8$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
D
解析
在平行四边形 $PAQC$ 中，根据平行四边形对边相等的性质，可得 $AQ = PC$。因此，求 $AQ$ 的最小值等价于求 $PC$ 的最小值。
点 $P$ 为 $AB$ 边上的动点，根据“垂线段最短”，当 $PC ⊥ AB$ 时，$PC$ 长度最小。
在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = 8$，$∠ BAC = 45°$。过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$，则 $CD$ 为 $C$ 到 $AB$ 的垂线段，即 $PC$ 的最小值。
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$∠ CAD = 45°$，$AC = 8$，则 $CD = AC · \sin 45° = 8 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$。
故 $AQ$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$。
点 $P$ 为 $AB$ 边上的动点，根据“垂线段最短”，当 $PC ⊥ AB$ 时，$PC$ 长度最小。
在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = 8$，$∠ BAC = 45°$。过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$，则 $CD$ 为 $C$ 到 $AB$ 的垂线段，即 $PC$ 的最小值。
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$∠ CAD = 45°$，$AC = 8$，则 $CD = AC · \sin 45° = 8 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$。
故 $AQ$ 的最小值为 $4\sqrt{2}$。
