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考点1 轴对称图形与中心对称图形
1. 下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是()
2. 下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
1. 下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中是轴对称图形的是()
2. 下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
答案
1.B 2.D
解析
1. 轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形。观察选项，A、C、D图案左右或上下不对称，B图案沿中间竖直线折叠后左右完全重合，是轴对称图形。
2. 轴对称图形需沿直线折叠后重合，中心对称图形需绕中心旋转180°后与原图形重合。A是轴对称图形不是中心对称图形；B是中心对称图形不是轴对称图形；C是中心对称图形不是轴对称图形；D沿多条直线折叠后重合，绕中心旋转180°后也重合，既是轴对称图形又是中心对称图形。
2. 轴对称图形需沿直线折叠后重合，中心对称图形需绕中心旋转180°后与原图形重合。A是轴对称图形不是中心对称图形；B是中心对称图形不是轴对称图形；C是中心对称图形不是轴对称图形；D沿多条直线折叠后重合，绕中心旋转180°后也重合，既是轴对称图形又是中心对称图形。
考点2 轴对称的性质
3. 如图，点 $ D $ 与点 $ D' $ 关于 $ AE $ 对称， $ ∠ CED' = 56^{\circ} $，则 $ ∠ AED $ 的度数为()
A. $ 57^{\circ} $
B. $ 60^{\circ} $
C. $ 62^{\circ} $
D. $ 67^{\circ} $
4. 如图，在 $ ∠ AOB $ 的内部有一点 $ P $，点 $ M $，$ N $ 分别是点 $ P $ 关于 $ OA $，$ OB $ 的对称点，$ MN $ 分别交 $ OA $，$ OB $ 于点 $ C $，$ D $，若 $ △ PCD $ 的周长为 $ 30 \, \mathrm{cm} $，则线段 $ MN $ 的长为 $ \mathrm{cm} $。
5. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $ 是 $ BC $ 上一点，点 $ E $ 与点 $ D $ 关于直线 $ AB $ 对称，点 $ F $ 与点 $ D $ 关于直线 $ AC $ 对称。若 $ ∠ B = 62^{\circ} $，$ ∠ C = 51^{\circ} $，则 $ ∠ EAF = $度。
3. 如图，点 $ D $ 与点 $ D' $ 关于 $ AE $ 对称， $ ∠ CED' = 56^{\circ} $，则 $ ∠ AED $ 的度数为()
A. $ 57^{\circ} $
B. $ 60^{\circ} $
C. $ 62^{\circ} $
D. $ 67^{\circ} $
4. 如图，在 $ ∠ AOB $ 的内部有一点 $ P $，点 $ M $，$ N $ 分别是点 $ P $ 关于 $ OA $，$ OB $ 的对称点，$ MN $ 分别交 $ OA $，$ OB $ 于点 $ C $，$ D $，若 $ △ PCD $ 的周长为 $ 30 \, \mathrm{cm} $，则线段 $ MN $ 的长为 $ \mathrm{cm} $。
5. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $ 是 $ BC $ 上一点，点 $ E $ 与点 $ D $ 关于直线 $ AB $ 对称，点 $ F $ 与点 $ D $ 关于直线 $ AC $ 对称。若 $ ∠ B = 62^{\circ} $，$ ∠ C = 51^{\circ} $，则 $ ∠ EAF = $度。
答案
C；30；134
解析
3. 点D与D'关于AE对称，故∠AED=∠AED'。设∠AED=x，则∠AED'=x。由图知C、E、D共线，∠CED'=56°，则∠D'ED=180°-56°=124°。又∠D'ED=∠AED+∠AED'=2x，故2x=124°，x=62°，即∠AED=62°。
4. M、N分别为P关于OA、OB的对称点，故PC=MC，PD=ND。△PCD周长=PC+CD+PD=30cm，MN=MC+CD+DN=PC+CD+PD=30cm。
5. 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-62°-51°=67°。E与D关于AB对称，得∠EAB=∠DAB；F与D关于AC对称，得∠FAC=∠DAC。设∠DAB=α，∠DAC=β，则α+β=67°。∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠FAC=α+67°+β=67°+67°=134°。
4. M、N分别为P关于OA、OB的对称点，故PC=MC，PD=ND。△PCD周长=PC+CD+PD=30cm，MN=MC+CD+DN=PC+CD+PD=30cm。
5. 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-62°-51°=67°。E与D关于AB对称，得∠EAB=∠DAB；F与D关于AC对称，得∠FAC=∠DAC。设∠DAB=α，∠DAC=β，则α+β=67°。∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠FAC=α+67°+β=67°+67°=134°。
考点3 利用轴对称设计图案
6. 如图均为 $ 2 × 2 $ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $ 1 $。请分别在四个图中各画出一个与 $ △ ABC $ 成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形。
6. 如图均为 $ 2 × 2 $ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $ 1 $。请分别在四个图中各画出一个与 $ △ ABC $ 成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形。
答案
（四个符合要求的轴对称三角形图，顶点分别为上述坐标对应的格点）
解析
1. 以竖直中线（x=1）为对称轴，对称三角形顶点为(2,2)、(0,2)、(0,1)；2. 以水平中线（y=1）为对称轴，对称三角形顶点为(0,0)、(2,0)、(2,1)；3. 以直线y=x为对称轴，对称三角形顶点为(2,0)、(2,2)、(1,2)；4. 以直线y=-x+2为对称轴，对称三角形顶点为(0,2)、(0,0)、(1,0)。
考点4 平移的性质及其应用
7. 如图，将 $ △ ABC $ 沿 $ BC $ 方向平移 $ 2 \, \mathrm{cm} $ 得到 $ △ DEF $，若 $ △ ABC $ 的周长为 $ 18 \, \mathrm{cm} $，则四边形 $ ABFD $ 的周长为()
A. $ 20 \, \mathrm{cm} $
B. $ 22 \, \mathrm{cm} $
C. $ 24 \, \mathrm{cm} $
D. $ 26 \, \mathrm{cm} $
8. 如图，在公园的长方形草地内修建了宽为 $ 2 $ 米的道路后，剩余的草地面积是平方米。
9. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 4 $，将 $ △ ABC $ 平移 $ 5 $ 个单位长度得到 $ △ A_1B_1C_1 $，点 $ P $ 是 $ AB $ 的中点，$ PA_1 $ 的最小值等于。
7. 如图，将 $ △ ABC $ 沿 $ BC $ 方向平移 $ 2 \, \mathrm{cm} $ 得到 $ △ DEF $，若 $ △ ABC $ 的周长为 $ 18 \, \mathrm{cm} $，则四边形 $ ABFD $ 的周长为()
A. $ 20 \, \mathrm{cm} $
B. $ 22 \, \mathrm{cm} $
C. $ 24 \, \mathrm{cm} $
D. $ 26 \, \mathrm{cm} $
8. 如图，在公园的长方形草地内修建了宽为 $ 2 $ 米的道路后，剩余的草地面积是平方米。
9. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = 4 $，将 $ △ ABC $ 平移 $ 5 $ 个单位长度得到 $ △ A_1B_1C_1 $，点 $ P $ 是 $ AB $ 的中点，$ PA_1 $ 的最小值等于。
答案
7. B
8. 180
9. 3
8. 180
9. 3
解析
7. 将 $ △ ABC $ 沿 $ BC $ 方向平移 $ 2 \, \mathrm{cm} $ 得到 $ △ DEF $，根据平移性质，平移后对应边相等，即 $ AB = DE $、$ AC = DF $、$ BC = EF $，且 $ AD = BE = 2 \, \mathrm{cm} $。
$ △ ABC $ 的周长为 $ 18 \, \mathrm{cm} $，即 $ AB + BC + AC = 18 \, \mathrm{cm} $。
四边形 $ ABFD $ 的周长为 $ AB + BF + DF + AD $，其中 $ BF = BE + EF = 2 + BC $，$ DF = AC $，$ AD = 2 \, \mathrm{cm} $，所以四边形 $ ABFD $ 的周长为：
$ AB + (2 + BC) + AC + 2 = AB + BC + AC + 4 = 18 + 4 = 22 \, \mathrm{cm} $
8. 道路宽为 $ 2 $ 米，草地的原长为 $ 20 $ 米，原宽为 $ 12 $ 米。修建道路后，草地的有效长为 $ 20 - 2 = 18 $ 米，有效宽为 $ 12 - 2 = 10 $ 米，所以剩余草地面积为：
$ 18 × 10 = 180 \, \mathrm{平方米} $
9. 将 $ △ ABC $ 平移 $ 5 $ 个单位长度得到 $ △ A_1B_1C_1 $，点 $ P $ 是 $ AB $ 的中点，$ AB = 4 $，所以 $ AP = \frac{AB}{2} = 2 $。
平移后，点 $ A $ 移动到 $ A_1 $，$ PA_1 $ 的最小值为 $ AA_1 - AP $，其中 $ AA_1 = 5 $，所以：
$ PA_1 $ 的最小值为 $ 5 - 2 = 3 $
$ △ ABC $ 的周长为 $ 18 \, \mathrm{cm} $，即 $ AB + BC + AC = 18 \, \mathrm{cm} $。
四边形 $ ABFD $ 的周长为 $ AB + BF + DF + AD $，其中 $ BF = BE + EF = 2 + BC $，$ DF = AC $，$ AD = 2 \, \mathrm{cm} $，所以四边形 $ ABFD $ 的周长为：
$ AB + (2 + BC) + AC + 2 = AB + BC + AC + 4 = 18 + 4 = 22 \, \mathrm{cm} $
8. 道路宽为 $ 2 $ 米，草地的原长为 $ 20 $ 米，原宽为 $ 12 $ 米。修建道路后，草地的有效长为 $ 20 - 2 = 18 $ 米，有效宽为 $ 12 - 2 = 10 $ 米，所以剩余草地面积为：
$ 18 × 10 = 180 \, \mathrm{平方米} $
9. 将 $ △ ABC $ 平移 $ 5 $ 个单位长度得到 $ △ A_1B_1C_1 $，点 $ P $ 是 $ AB $ 的中点，$ AB = 4 $，所以 $ AP = \frac{AB}{2} = 2 $。
平移后，点 $ A $ 移动到 $ A_1 $，$ PA_1 $ 的最小值为 $ AA_1 - AP $，其中 $ AA_1 = 5 $，所以：
$ PA_1 $ 的最小值为 $ 5 - 2 = 3 $
