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例 4
某校园学子餐厅把 Wi-Fi 密码做成了数学题,小亮在餐厅就餐时,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了学子餐厅的网络,那么他输入的密码是______。
[解答] 观察给出的等式可以发现：前两位数是第一个数乘第二个数,中间两位数是第一个数乘第三个数,最后两位数是第一个数乘后两个数之和。因为 $ 7×2 = 14 $,$ 7×5 = 35 $,$ 7×(2 + 5) = 49 $,所以他输入的密码是 143549。
[答案] 143549
某校园学子餐厅把 Wi-Fi 密码做成了数学题,小亮在餐厅就餐时,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接到了学子餐厅的网络,那么他输入的密码是______。
[解答] 观察给出的等式可以发现：前两位数是第一个数乘第二个数,中间两位数是第一个数乘第三个数,最后两位数是第一个数乘后两个数之和。因为 $ 7×2 = 14 $,$ 7×5 = 35 $,$ 7×(2 + 5) = 49 $,所以他输入的密码是 143549。
[答案] 143549
答案
143549
解析
观察等式可知规律为：结果前两位数是第一个数乘第二个数，中间两位数是第一个数乘第三个数，最后两位数是第一个数乘后两个数之和。计算可得：7×2=14，7×5=35，7×(2+5)=49，所以密码是143549。
1. 观察规律：$ 1 = 1^2 $；$ 1 + 3 = 2^2 $；$ 1 + 3 + 5 = 3^2 $；$ 1 + 3 + 5 + 7 = 4^2 $；…；则 $ 1 + 3 + 5 + … + 19 $ 的值等于( )。
A.$ 8^2 $
B.$ 9^2 $
C.$ 10^2 $
D.$ 11^2 $
A.$ 8^2 $
B.$ 9^2 $
C.$ 10^2 $
D.$ 11^2 $
答案
C
解析
观察规律可知，从1开始连续n个奇数的和等于$n^2$。
数列1，3，5，…，19是首项为1，公差为2的等差数列，设项数为n，根据等差数列通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中$a_n = 19$，$a_1 = 1$，$d = 2$，可得：
$19 = 1 + (n - 1)×2$
$19 - 1 = (n - 1)×2$
$18 = (n - 1)×2$
$n - 1 = 9$
$n = 10$
所以该数列有10项，其和为$10^2$。
C
数列1，3，5，…，19是首项为1，公差为2的等差数列，设项数为n，根据等差数列通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中$a_n = 19$，$a_1 = 1$，$d = 2$，可得：
$19 = 1 + (n - 1)×2$
$19 - 1 = (n - 1)×2$
$18 = (n - 1)×2$
$n - 1 = 9$
$n = 10$
所以该数列有10项，其和为$10^2$。
C
2. 观察下列算式,
$ 2^1 = 2 $,$ 2^2 = 4 $,$ 2^3 = 8 $,$ 2^4 = 16 $,$ 2^5 = 32 $,$ 2^6 = 64 $,$ 2^7 = 128 $,$ 2^8 = 256 $,…
根据上述算式中的规律,推得 $ 2^{2026} $ 的结果的末位数字是( )。
A.8
B.6
C.4
D.2
$ 2^1 = 2 $,$ 2^2 = 4 $,$ 2^3 = 8 $,$ 2^4 = 16 $,$ 2^5 = 32 $,$ 2^6 = 64 $,$ 2^7 = 128 $,$ 2^8 = 256 $,…
根据上述算式中的规律,推得 $ 2^{2026} $ 的结果的末位数字是( )。
A.8
B.6
C.4
D.2
答案
C
解析
观察算式可知，$2^n$的末位数字以2、4、8、6为周期循环出现，周期为4。
计算$2026÷4$，商为506，余数为2。
因为余数为2，所以$2^{2026}$的末位数字与$2^2$的末位数字相同，即为4。
C
计算$2026÷4$，商为506，余数为2。
因为余数为2，所以$2^{2026}$的末位数字与$2^2$的末位数字相同，即为4。
C
3. 把有理数 $ a $ 代入 $ |a + 7| - 8 $ 得到 $ a_1 $,称为第 1 次操作,再次将 $ a_1 $ 作为 $ a $ 的值代入得到 $ a_2 $,称为第 2 次操作。依此类推,若 $ a = -9 $,则 $ a_{2025} = $______。
答案
-8
解析
当$a = -9$时，
第1次操作：$a_1 = |-9 + 7| - 8 = |-2| - 8 = 2 - 8 = -6$；
第2次操作：$a_2 = |-6 + 7| - 8 = |1| - 8 = 1 - 8 = -7$；
第3次操作：$a_3 = |-7 + 7| - 8 = |0| - 8 = 0 - 8 = -8$；
第4次操作：$a_4 = |-8 + 7| - 8 = |-1| - 8 = 1 - 8 = -7$；
第5次操作：$a_5 = |-7 + 7| - 8 = 0 - 8 = -8$；
……
从第2次操作开始，结果以$-7$，$-8$循环，循环节长度为2。
$(2025 - 1) ÷ 2 = 2024 ÷ 2 = 1012$，无余数，
所以$a_{2025} = -8$。
$-8$
第1次操作：$a_1 = |-9 + 7| - 8 = |-2| - 8 = 2 - 8 = -6$；
第2次操作：$a_2 = |-6 + 7| - 8 = |1| - 8 = 1 - 8 = -7$；
第3次操作：$a_3 = |-7 + 7| - 8 = |0| - 8 = 0 - 8 = -8$；
第4次操作：$a_4 = |-8 + 7| - 8 = |-1| - 8 = 1 - 8 = -7$；
第5次操作：$a_5 = |-7 + 7| - 8 = 0 - 8 = -8$；
……
从第2次操作开始，结果以$-7$，$-8$循环，循环节长度为2。
$(2025 - 1) ÷ 2 = 2024 ÷ 2 = 1012$，无余数，
所以$a_{2025} = -8$。
$-8$
4. 观察下列各数：0,3,8,15,24,…。按此规律写出的第 100 个数是______,第 $ n $ 个数是______。
答案
9999 $n^{2}-1$
解析
第100个数：$100^{2}-1=9999$
第$n$个数：$n^{2}-1$
第$n$个数：$n^{2}-1$
5. 有一列数：$ \frac{1}{2} $,$ \frac{3}{4} $,$ \frac{5}{6} $,$ \frac{7}{8} $,…,其中第 $ n $ 个数是______。
答案
$\frac{2n-1}{2n}$
6. 观察下列各数：$ 1\frac{1}{2} $,$ 2\frac{1}{4} $,$ 3\frac{1}{8} $,$ 4\frac{1}{16} $,…,则第 $ n $ 个数是______。
答案
$n+\frac{1}{2^{n}}$
7. 观察下列算式,你能发现什么规律？请将你找出的规律用式子表示出来。
$ 1×3 + 1 = 4 = 2^2 $,
$ 2×4 + 1 = 9 = 3^2 $,
$ 3×5 + 1 = 16 = 4^2 $,
$ 4×6 + 1 = 25 = 5^2 $,
……
$ 1×3 + 1 = 4 = 2^2 $,
$ 2×4 + 1 = 9 = 3^2 $,
$ 3×5 + 1 = 16 = 4^2 $,
$ 4×6 + 1 = 25 = 5^2 $,
……
答案
$(n-1)(n+1)+1=n^{2}$或$n(n+2)+1=(n+1)^{2}(n\geq2$且n为正整数)
解析
$n(n+2)+1=(n+1)^{2}$（$n$为正整数）
