例 1
下列每个表格中的四个数都是按相同规律填写的,根据此规律确定 $ x $ 的值为( )。


A.135
B.170
C.209
D.252
[解答] 解题关键在于从特殊的结果入手寻找规律。根据表格可得规律：第 $ n $ 个表格中,左上数字为 $ n $,左下数字为 $ n + 1 $,右上数字为 $ 2(n + 1) $,右下数字为 $ 2(n + 1)(n + 1) + n $,所以 $ 20 = 2(n + 1) $,解得 $ n = 9 $,所以 $ a = 9 $,$ b = 10 $,$ x = 10×20 + 9 = 209 $。
[答案] C

C

观察表格规律：第n个表格中，左上数字为n，左下数字为n+1，右上数字为2(n+1)，右下数字=右上数字×左下数字+左上数字。由右上数字20=2(n+1)，得n=9，即a=9，b=n+1=10，x=20×10+9=209。

例 2
按规律排列的一组数据：$ \frac{1}{2} $,$ \frac{3}{5} $,$ □ $,$ \frac{7}{17} $,$ \frac{9}{26} $,$ \frac{11}{37} $,…,其中$ □ $里应填的数是( )。

A.$ \frac{2}{3} $
B.$ \frac{5}{11} $
C.$ \frac{5}{9} $
D.$ \frac{1}{2} $
[解答] 观察这组数据发现：分子为连续的奇数,分母为序号的平方 $ + 1 $,
所以第 $ n $ 个数据为 $ \frac{2n - 1}{n^2 + 1} $。
当 $ n = 3 $ 时,$ □ $里的分子为 $ 2×3 - 1 = 5 $,分母为 $ 3^2 + 1 = 10 $,
所以这个数为 $ \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $。
[答案] D

D

观察这组数据，分子为连续的奇数，即第$n$个数据的分子为$2n - 1$；分母为序号的平方加$1$，即第$n$个数据的分母为$n^2 + 1$。
所以第$n$个数据为$\frac{2n - 1}{n^2 + 1}$。
当$n = 3$时，分子为$2×3 - 1 = 5$，分母为$3^2 + 1 = 10$，这个数为$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。

例 3
按一定规律排列的单项式：$ a^2 $,$ 4a^3 $,$ 9a^4 $,$ 16a^5 $,$ 25a^6 $,…,第 $ n $ 个单项式是( )。

A.$ n^2a^{n + 1} $
B.$ n^2a^{n - 1} $
C.$ n^na^{n + 1} $
D.$ (n + 1)^2a^n $
[解答] 观察字母 $ a $ 的系数、次数的规律即可写出第 $ n $ 个单项式。
因为第 1 个单项式 $ a^2 = 1^2·a^{1 + 1} $,
第 2 个单项式 $ 4a^3 = 2^2·a^{2 + 1} $,
第 3 个单项式 $ 9a^4 = 3^2·a^{3 + 1} $,
第 4 个单项式 $ 16a^5 = 4^2·a^{4 + 1} $,
…
所以第 $ n $( $ n $ 为正整数)个单项式为 $ n^2a^{n + 1} $。
[答案] A

A

第1个单项式：$a^2 = 1^2 \cdot a^{1+1}$；
第2个单项式：$4a^3 = 2^2 \cdot a^{2+1}$；
第3个单项式：$9a^4 = 3^2 \cdot a^{3+1}$；
第4个单项式：$16a^5 = 4^2 \cdot a^{4+1}$；
...
由此，归纳得出第$n$个单项式的系数为$n^2$，$a$的次数为$n+1$，所以第$n$个单项式为$n^2a^{n+1}$。