1. 从总体中抽取一个样本,计算出这个样本的方差为1,可以估计总体的方差()

A.一定大于1
B.约等于1
C.一定小于1
D.与样本的方差无关

B

样本的方差是用来估计总体方差的一个重要统计量，在大量重复抽取样本的情况下，样本方差的期望值等于总体方差，所以当从一个总体中抽取一个样本并计算出样本方差为1时，可以估计总体方差约等于1。

2. 某科普小组有5名成员,他们的身高(单位:cm)分别如下:160,165,170,163,167.增加1名身高为165 cm的成员后,现科普小组成员的身高与原来相比,下列说法中正确的是()

A.平均数不变,方差不变
B.平均数不变,方差变大
C.平均数不变,方差变小
D.平均数变小,方差不变

C

原数据的平均数为：$\frac{160 + 165 + 170 + 163 + 167}{5} = 165$（cm）。
新增身高为$165cm$的成员后，新的平均数为：$\frac{160 + 165 + 170 + 163 + 167 + 165}{6} = 165$（cm）。
原数据的方差为：
$\frac{(160-165)^2 + (165-165)^2 + (170-165)^2 + (163-165)^2 + (167-165)^2}{5}$
$ = \frac{25 + 0 + 25 + 4 + 4}{5}$
$ = \frac{58}{5} = 11.6$
新增数据后的方差为：
$\frac{(160-165)^2 + 2 × (165-165)^2 + (170-165)^2 + (163-165)^2 + (167-165)^2}{6}$
$ = \frac{25 + 0 + 25 + 4 + 4}{6}$
$ = \frac{58}{6} \approx 9.67$
由于$9.67 ＜ 11.6$，因此方差变小。
平均数不变，方差变小。

3. 甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”.两人5次成绩的平均数都是95分,方差分别是$ s_{甲}^{2}=2.5 $,$ s_{乙}^{2}=3 $,则成绩比较稳定的是. (填“甲”或“乙”)

因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。
已知甲、乙两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是$s_{甲}^{2}=2.5$，$s_{乙}^{2}=3$。
因为$2.5 ＜ 3$，即$s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，所以甲的成绩比较稳定。
甲

4. 有一组数据$ a,b,c,d,e(a ＜ b ＜ c ＜ d ＜ e) $,将这组数据改变为$ a - 2,b,c,d,e + 2 $.设这组数据改变前后的方差分别为$ s_{1}^{2} $,$ s_{2}^{2} $,则$ s_{1}^{2} $与$ s_{2}^{2} $之间的大小关系是.

$s_{1}^{2} ＜ s_{2}^{2}$
解析：设原数据平均数为$\overline{x}_{1}$，则$\overline{x}_{1}=\frac{a+b+c+d+e}{5}$。改变后数据为$a-2,b,c,d,e+2$，其总和为$(a-2)+b+c+d+(e+2)=a+b+c+d+e$，故平均数$\overline{x}_{2}=\overline{x}_{1}$。
原方差$s_{1}^{2}=\frac{1}{5}[(a-\overline{x}_{1})^{2}+(b-\overline{x}_{1})^{2}+(c-\overline{x}_{1})^{2}+(d-\overline{x}_{1})^{2}+(e-\overline{x}_{1})^{2}]$。
改变后方差$s_{2}^{2}=\frac{1}{5}[(a-2-\overline{x}_{1})^{2}+(b-\overline{x}_{1})^{2}+(c-\overline{x}_{1})^{2}+(d-\overline{x}_{1})^{2}+(e+2-\overline{x}_{1})^{2}]$。
展开$(a-2-\overline{x}_{1})^{2}=(a-\overline{x}_{1})^{2}-4(a-\overline{x}_{1})+4$，$(e+2-\overline{x}_{1})^{2}=(e-\overline{x}_{1})^{2}+4(e-\overline{x}_{1})+4$。
则$s_{2}^{2}=\frac{1}{5}[N_{1}-4(a-\overline{x}_{1})+4+4(e-\overline{x}_{1})+4]=\frac{1}{5}[N_{1}+4(e-a)+8]$（其中$N_{1}$为$s_{1}^{2}$分子部分）。
因$a ＜ e$，$e-a＞0$，故$4(e-a)+8＞0$，则$s_{2}^{2}＞s_{1}^{2}$，即$s_{1}^{2} ＜ s_{2}^{2}$。