登录
14. 计算：
(1) $-x^{3}·(-x)^{4}·(-x)^{5}$.
(2) $x^{p}(-x)^{2p}-2x^{3p}$.
(3) $(a - b)^{3}·(b - a)^{2}-(a - b)^{4}(b - a)+(a - b)^{5}$.
(1) $-x^{3}·(-x)^{4}·(-x)^{5}$.
(2) $x^{p}(-x)^{2p}-2x^{3p}$.
(3) $(a - b)^{3}·(b - a)^{2}-(a - b)^{4}(b - a)+(a - b)^{5}$.
答案
14. (1)$x^{12}$ (2)$-x^{3p}$ (3)$3(a - b)^{5}$
解析
【解析】
(1) 原式$=-x^{3}·x^{4}·(-x^{5})$
$=x^{3}·x^{4}·x^{5}$
$=x^{3+4+5}=x^{12}$
(2) 原式$=x^{p}·x^{2p}-2x^{3p}$
$=x^{p+2p}-2x^{3p}$
$=x^{3p}-2x^{3p}=-x^{3p}$
(3) 原式$=(a - b)^{3}·(a - b)^{2}-(a - b)^{4}·[-(a - b)]+(a - b)^{5}$
$=(a - b)^{5}+(a - b)^{5}+(a - b)^{5}$
$=3(a - b)^{5}$
【答案】
(1)$x^{12}$；(2)$-x^{3p}$；(3)$3(a - b)^{5}$
【知识点】
同底数幂乘法、幂的符号法则、合并同类项
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，需注意底数的等价转化（如$b-a$与$a-b$的关系）及幂的符号判断，熟练运用同底数幂乘法法则和合并同类项法则，提升整式运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 原式$=-x^{3}·x^{4}·(-x^{5})$
$=x^{3}·x^{4}·x^{5}$
$=x^{3+4+5}=x^{12}$
(2) 原式$=x^{p}·x^{2p}-2x^{3p}$
$=x^{p+2p}-2x^{3p}$
$=x^{3p}-2x^{3p}=-x^{3p}$
(3) 原式$=(a - b)^{3}·(a - b)^{2}-(a - b)^{4}·[-(a - b)]+(a - b)^{5}$
$=(a - b)^{5}+(a - b)^{5}+(a - b)^{5}$
$=3(a - b)^{5}$
【答案】
(1)$x^{12}$；(2)$-x^{3p}$；(3)$3(a - b)^{5}$
【知识点】
同底数幂乘法、幂的符号法则、合并同类项
【点评】
本题考查幂的运算性质的综合应用，需注意底数的等价转化（如$b-a$与$a-b$的关系）及幂的符号判断，熟练运用同底数幂乘法法则和合并同类项法则，提升整式运算能力。
【难度系数】
0.7
15. 卫星绕地球表面做圆周运动的速度约为 $8×10^{3}\mathrm{ m/s}$，则卫星运行 $5×10^{2}\mathrm{ s}$ 所走的路程约是多少？
答案
15. $4×10^{6}m$
解析
【解析】
根据路程公式 $ s = vt $，将速度 $ v = 8×10^{3}\mathrm{ m/s} $，时间 $ t = 5×10^{2}\mathrm{ s} $ 代入得：
$ s = 8×10^{3}×5×10^{2} = (8×5)×(10^{3}×10^{2}) = 40×10^{5} = 4×10^{6}\mathrm{ m} $
【答案】
$ 4×10^{6}\mathrm{ m} $
【知识点】
科学计数法运算，路程公式应用
【点评】
本题考查路程公式的基本应用以及科学计数法的乘法运算，属于基础计算题，解题时需注意科学计数法中同底数幂相乘，指数相加的运算规则。
【难度系数】
0.9
根据路程公式 $ s = vt $，将速度 $ v = 8×10^{3}\mathrm{ m/s} $，时间 $ t = 5×10^{2}\mathrm{ s} $ 代入得：
$ s = 8×10^{3}×5×10^{2} = (8×5)×(10^{3}×10^{2}) = 40×10^{5} = 4×10^{6}\mathrm{ m} $
【答案】
$ 4×10^{6}\mathrm{ m} $
【知识点】
科学计数法运算，路程公式应用
【点评】
本题考查路程公式的基本应用以及科学计数法的乘法运算，属于基础计算题，解题时需注意科学计数法中同底数幂相乘，指数相加的运算规则。
【难度系数】
0.9
16. 规定一种新运算 $a★b = 5^{a}×5^{b}$，如 $2★3 = 5^{2}×5^{3}=5^{5}$.
(1) 求 $3★4$；
(2) 若 $x★(2x + 1)=625$，求 $x$ 的值.
(1) 求 $3★4$；
(2) 若 $x★(2x + 1)=625$，求 $x$ 的值.
答案
16. (1)$5^{7}$ (2)$x = 1$.
解析
【解析】
(1) 根据新运算定义 $a★b = 5^{a}×5^{b}$，代入计算：
$3★4 = 5^{3}×5^{4}$
由同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加），得：
$5^{3}×5^{4}=5^{3+4}=5^{7}$
(2) 先根据新运算展开左边：
$x★(2x + 1)=5^{x}×5^{2x+1}=5^{x+2x+1}=5^{3x+1}$
因为 $625=5^{4}$，所以等式可转化为：
$5^{3x+1}=5^{4}$
根据同底数幂相等则指数相等，列方程：
$3x+1=4$
解得：$x=1$
【答案】
(1) $5^{7}$；(2) $x = 1$
【知识点】
新定义运算、同底数幂乘法、解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算与幂的运算，核心是理解新运算规则，利用同底数幂的性质将等式转化为常规方程求解，考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 根据新运算定义 $a★b = 5^{a}×5^{b}$，代入计算：
$3★4 = 5^{3}×5^{4}$
由同底数幂乘法法则（底数不变，指数相加），得：
$5^{3}×5^{4}=5^{3+4}=5^{7}$
(2) 先根据新运算展开左边：
$x★(2x + 1)=5^{x}×5^{2x+1}=5^{x+2x+1}=5^{3x+1}$
因为 $625=5^{4}$，所以等式可转化为：
$5^{3x+1}=5^{4}$
根据同底数幂相等则指数相等，列方程：
$3x+1=4$
解得：$x=1$
【答案】
(1) $5^{7}$；(2) $x = 1$
【知识点】
新定义运算、同底数幂乘法、解一元一次方程
【点评】
本题结合新定义运算与幂的运算，核心是理解新运算规则，利用同底数幂的性质将等式转化为常规方程求解，考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
17. (1) 已知 $a^{2y}· b^{2x}· a^{3x + 2}· b^{5y}=a^{14}· b^{19}$，求 $x$，$y$ 的值；
(2) 已知 $m^{2}=x$，$m^{7}=y$，试用含 $x$，$y$ 的代数式表示 $m^{13}$.
(2) 已知 $m^{2}=x$，$m^{7}=y$，试用含 $x$，$y$ 的代数式表示 $m^{13}$.
答案
17. $\because a^{2y}·b^{2x}·a^{3x + 2}·b^{5y}=a^{14}·b^{19}$.
$\therefore a^{3x + 2y + 2}b^{2x + 5y}=a^{14}·b^{19}$.
$\therefore 3x + 2y + 2 = 14$，$2x + 5y = 19$.
$\therefore x = 2$，$y = 3$.
(2)$m^{13}=x^{3}y$.
$\because m^{13}=m^{2}m^{2}m^{2}m^{7}$，
$\therefore m^{13}=x^{3}y$.
$\therefore a^{3x + 2y + 2}b^{2x + 5y}=a^{14}·b^{19}$.
$\therefore 3x + 2y + 2 = 14$，$2x + 5y = 19$.
$\therefore x = 2$，$y = 3$.
(2)$m^{13}=x^{3}y$.
$\because m^{13}=m^{2}m^{2}m^{2}m^{7}$，
$\therefore m^{13}=x^{3}y$.
解析
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则化简等式左边：
$\because a^{2y}·b^{2x}·a^{3x + 2}·b^{5y}=a^{14}·b^{19}$
$\therefore a^{3x + 2y + 2}b^{2x + 5y}=a^{14}·b^{19}$
由同底数幂相等则指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}3x + 2y + 2 = 14 \\ 2x + 5y = 19\end{cases}$
解该方程组，得$x = 2$，$y = 3$。
(2) 对$m^{13}$的指数进行拆分，结合幂的运算性质变形：
$m^{13}=m^{2×3 + 7}=(m^2)^3·m^7$
已知$m^2=x$，$m^7=y$，代入得：
$m^{13}=x^3y$
【答案】
(1) $x=2$，$y=3$；(2) $m^{13}=x^3y$
【知识点】
同底数幂的乘法，二元一次方程组的解法，幂的逆运算
【点评】
本题考查幂的运算性质与二元一次方程组的综合应用，需熟练掌握同底数幂乘法法则，能通过指数对应关系建立方程求解，同时学会对幂的指数合理拆分，提升幂运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 根据同底数幂的乘法法则化简等式左边：
$\because a^{2y}·b^{2x}·a^{3x + 2}·b^{5y}=a^{14}·b^{19}$
$\therefore a^{3x + 2y + 2}b^{2x + 5y}=a^{14}·b^{19}$
由同底数幂相等则指数相等，可得方程组：
$\begin{cases}3x + 2y + 2 = 14 \\ 2x + 5y = 19\end{cases}$
解该方程组，得$x = 2$，$y = 3$。
(2) 对$m^{13}$的指数进行拆分，结合幂的运算性质变形：
$m^{13}=m^{2×3 + 7}=(m^2)^3·m^7$
已知$m^2=x$，$m^7=y$，代入得：
$m^{13}=x^3y$
【答案】
(1) $x=2$，$y=3$；(2) $m^{13}=x^3y$
【知识点】
同底数幂的乘法，二元一次方程组的解法，幂的逆运算
【点评】
本题考查幂的运算性质与二元一次方程组的综合应用，需熟练掌握同底数幂乘法法则，能通过指数对应关系建立方程求解，同时学会对幂的指数合理拆分，提升幂运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
