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1.（2024·福建）已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中。在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类高中有3000名考生，数学平均分为90分；乙类高中有2000名考生，数学平均分为80分。
（1）求A地考生的数学平均分。
（2）已知B地甲类高中的数学平均分为94分，乙类高中的数学平均分为82分，能否判断B地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高？若能，请给出证明；若不能，请举例说明。
（1）求A地考生的数学平均分。
（2）已知B地甲类高中的数学平均分为94分，乙类高中的数学平均分为82分，能否判断B地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高？若能，请给出证明；若不能，请举例说明。
答案
（1）
根据加权平均数公式，A地考生的数学平均分为：
$\frac{3000 × 90 + 2000 × 80}{3000 + 2000} = \frac{270000 + 160000}{5000} = \frac{430000}{5000} = 86 \mathrm{(分)}$，
（2）
不能判断。
设B地甲类高中有$a$名考生，乙类高中有$b$名考生。
则B地考生的数学平均分为：
$\frac{94a + 82b}{a + b}$，
A地考生的数学平均分已知为86分。
现在比较两者：
如果$\frac{94a + 82b}{a + b} ＞ 86$，
则$94a + 82b ＞ 86a + 86b$，
$8a ＞ 4b$，
$a ＞ 0.5b$，
从上述不等式可以看出，B地的平均分高于A地并不是在所有情况下都成立，它取决于$a$和$b$的具体值。
例如，当$a = 100$，$b = 300$时，
B地平均分：
$\frac{94 × 100 + 82 × 300}{100 + 300} = \frac{9400 + 24600}{400} = \frac{34000}{400} = 85 \mathrm{(分)}$，
此时B地平均分低于A地。
因此，不能判断B地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高。
根据加权平均数公式，A地考生的数学平均分为：
$\frac{3000 × 90 + 2000 × 80}{3000 + 2000} = \frac{270000 + 160000}{5000} = \frac{430000}{5000} = 86 \mathrm{(分)}$，
（2）
不能判断。
设B地甲类高中有$a$名考生，乙类高中有$b$名考生。
则B地考生的数学平均分为：
$\frac{94a + 82b}{a + b}$，
A地考生的数学平均分已知为86分。
现在比较两者：
如果$\frac{94a + 82b}{a + b} ＞ 86$，
则$94a + 82b ＞ 86a + 86b$，
$8a ＞ 4b$，
$a ＞ 0.5b$，
从上述不等式可以看出，B地的平均分高于A地并不是在所有情况下都成立，它取决于$a$和$b$的具体值。
例如，当$a = 100$，$b = 300$时，
B地平均分：
$\frac{94 × 100 + 82 × 300}{100 + 300} = \frac{9400 + 24600}{400} = \frac{34000}{400} = 85 \mathrm{(分)}$，
此时B地平均分低于A地。
因此，不能判断B地考生的数学平均分一定比A地考生的数学平均分高。
解析
【解析】
（1）根据加权平均数公式，计算A地考生的数学平均分：
总分数为甲类高中总分数与乙类高中总分数之和，即$3000×90 + 2000×80$，总人数为两类高中考生人数之和$3000+2000$，代入公式得：
$\frac{3000 × 90 + 2000 × 80}{3000 + 2000} = \frac{270000 + 160000}{5000} = \frac{430000}{5000} = 86$（分）。
（2）不能判断。设B地甲类高中有$a$名考生，乙类高中有$b$名考生，则B地考生的数学平均分为$\frac{94a + 82b}{a + b}$。将其与A地平均分86分比较：
若$\frac{94a + 82b}{a + b} ＞ 86$，推导得$94a + 82b ＞ 86a + 86b$，化简后为$a ＞ 0.5b$，说明B地平均分是否高于A地取决于甲、乙类高中的考生人数权重。举例：当$a = 100$，$b = 300$时，B地平均分为$\frac{94×100 + 82×300}{100+300} = \frac{9400+24600}{400}=85$（分），此时B地平均分低于A地，故不能判断B地考生的数学平均分一定比A地高。
【答案】
（1）86分；
（2）不能判断，举例：当B地甲类高中有100名考生，乙类高中有300名考生时，B地考生数学平均分为85分，低于A地的86分。
【知识点】
加权平均数计算、平均数的比较
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，核心是理解考生人数权重对整体平均分的影响，通过计算推导和实例验证，纠正直接比较两类平均分的错误认知，提升统计量的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）根据加权平均数公式，计算A地考生的数学平均分：
总分数为甲类高中总分数与乙类高中总分数之和，即$3000×90 + 2000×80$，总人数为两类高中考生人数之和$3000+2000$，代入公式得：
$\frac{3000 × 90 + 2000 × 80}{3000 + 2000} = \frac{270000 + 160000}{5000} = \frac{430000}{5000} = 86$（分）。
（2）不能判断。设B地甲类高中有$a$名考生，乙类高中有$b$名考生，则B地考生的数学平均分为$\frac{94a + 82b}{a + b}$。将其与A地平均分86分比较：
若$\frac{94a + 82b}{a + b} ＞ 86$，推导得$94a + 82b ＞ 86a + 86b$，化简后为$a ＞ 0.5b$，说明B地平均分是否高于A地取决于甲、乙类高中的考生人数权重。举例：当$a = 100$，$b = 300$时，B地平均分为$\frac{94×100 + 82×300}{100+300} = \frac{9400+24600}{400}=85$（分），此时B地平均分低于A地，故不能判断B地考生的数学平均分一定比A地高。
【答案】
（1）86分；
（2）不能判断，举例：当B地甲类高中有100名考生，乙类高中有300名考生时，B地考生数学平均分为85分，低于A地的86分。
【知识点】
加权平均数计算、平均数的比较
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，核心是理解考生人数权重对整体平均分的影响，通过计算推导和实例验证，纠正直接比较两类平均分的错误认知，提升统计量的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2.(2023·河南)蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利。不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势。樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对这两家公司的相关评价，并进行整理、描述和分析，得到如下信息。
信息1：甲快递公司配送速度得分(单位：分，满分10分)如下：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10；乙快递公司配送速度得分(单位：分，满分10分)如下：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10。
信息2：甲、乙两家快递公司服务质量得分(单位：分，满分10分)如图所示。
信息3：甲、乙两家快递公司配送速度和服务质量得分的相关统计量如下表。
根据以上信息，回答下列问题。
(1)填空：m = ，s²甲s²乙(填“＞”“＜”或“＝”)。
(2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由。
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？(列出一条即可)
信息1：甲快递公司配送速度得分(单位：分，满分10分)如下：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10；乙快递公司配送速度得分(单位：分，满分10分)如下：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10。
信息2：甲、乙两家快递公司服务质量得分(单位：分，满分10分)如图所示。
信息3：甲、乙两家快递公司配送速度和服务质量得分的相关统计量如下表。
根据以上信息，回答下列问题。
(1)填空：m = ，s²甲s²乙(填“＞”“＜”或“＝”)。
(2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由。
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？(列出一条即可)
答案
(1) 7.5；＜
(2) 应选择乙公司。理由：乙公司配送速度得分的平均数（8分）高于甲公司（7.8分），中位数（8分）也高于甲公司（7.5分），说明乙公司配送速度整体水平更优。
(3) 两家公司的收费标准（或投递范围、水果损坏率等）。
(2) 应选择乙公司。理由：乙公司配送速度得分的平均数（8分）高于甲公司（7.8分），中位数（8分）也高于甲公司（7.5分），说明乙公司配送速度整体水平更优。
(3) 两家公司的收费标准（或投递范围、水果损坏率等）。
解析
【解析】
(1) 甲快递公司配送速度得分共10个，将数据从小到大排列后，中间两个数为7和8，因此中位数$ m = \frac{7+8}{2} = 7.5 $；根据数据波动或统计量信息可得$ s^{2}_{甲} ＜ s^{2}_{乙} $。
(2) 应选择乙公司。理由：乙公司配送速度得分的平均数（8分）高于甲公司（7.8分），中位数（8分）也高于甲公司（7.5分），说明乙公司配送速度整体水平更优。
(3) 可收集如两家公司的收费标准、投递范围、水果损坏率等信息，辅助做出更合适的选择。
【答案】
(1) $ 7.5 $；$ ＜ $
(2) 应选择乙公司。理由：乙公司配送速度得分的平均数（8分）高于甲公司（7.8分），中位数（8分）也高于甲公司（7.5分），说明乙公司配送速度整体水平更优。
(3) 两家公司的收费标准（或投递范围、水果损坏率等）。
【知识点】
中位数；方差；统计决策
【点评】
本题结合快递配送的实际情境，考查中位数、方差、平均数等统计量的意义与应用，要求能根据统计量分析数据并做出合理决策，体现了统计知识在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 甲快递公司配送速度得分共10个，将数据从小到大排列后，中间两个数为7和8，因此中位数$ m = \frac{7+8}{2} = 7.5 $；根据数据波动或统计量信息可得$ s^{2}_{甲} ＜ s^{2}_{乙} $。
(2) 应选择乙公司。理由：乙公司配送速度得分的平均数（8分）高于甲公司（7.8分），中位数（8分）也高于甲公司（7.5分），说明乙公司配送速度整体水平更优。
(3) 可收集如两家公司的收费标准、投递范围、水果损坏率等信息，辅助做出更合适的选择。
【答案】
(1) $ 7.5 $；$ ＜ $
(2) 应选择乙公司。理由：乙公司配送速度得分的平均数（8分）高于甲公司（7.8分），中位数（8分）也高于甲公司（7.5分），说明乙公司配送速度整体水平更优。
(3) 两家公司的收费标准（或投递范围、水果损坏率等）。
【知识点】
中位数；方差；统计决策
【点评】
本题结合快递配送的实际情境，考查中位数、方差、平均数等统计量的意义与应用，要求能根据统计量分析数据并做出合理决策，体现了统计知识在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
