7. 一个正多边形，它的外角等于与它相邻的内角的$\frac{1}{4}$，则这个多边形是几边形？

7. 解: 设这个正多边形是 $ n $ 边形
$ \frac{1}{4} × \frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n} = \frac{360^{\circ}}{n} $
$ 45(n - 2) = 360^{\circ} $
$ n - 2 = 8 $
$ n = 10 $
答: 这个正多边形是 10 边形.

8. 一个多边形的各个内角相等，且它的每一个内角比其外角大$100^{\circ}$，求这个多边形的边数.

8. 解: 设这个多边形是 $ n $ 边形.
$ \frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n} = \frac{360^{\circ}}{n} + 100^{\circ} $
$ 18n - 36 = 36 + 10n $
$ 8n = 72 $
$ n = 9 $
答: 这个多边形是 9 边形.

9. 两个正多边形，它们的边数之比为$1:2$，内角和之比为$3:8$，求这两个多边形的边数.

9. 解: 设两个多边形它们的边数分别是 $ n $、$ 2n $.
$ 180(n - 2) : 180(2n - 2) = 3 : 8 $
解得 $ \begin{cases} n = 5 \\ 2n = 10 \end{cases} $
答: 这两个多边形的边数分别为 5 和 10.

如图，小东在足球场的中间位置，从点$A$出发，每走$6\mathrm{m}$向左转$60^{\circ}$，已知$AB = BC = 6\mathrm{m}$.
（1）小东能否走回点$A$？若能回到点$A$，则需走几米，走过的路径是一个什么图形？请说明理由.（路径为点$A\to$点$B\to$点$C\to···$）
（2）求这个图形的内角和.

解: (1) $ \because $ 从 $ A $ 点出发, 每走 $ 6m $ 向左转 $ 60^{\circ} $,
$ \therefore 360^{\circ} ÷ 60^{\circ} = 6 $
$ \therefore $ 走过的路径是一个边长为 6 的正六边形
$ \therefore $ 小东能走回点 $ A $
$ \therefore $ 走回点 $ A $ 需要 $ 6 × 6 = 36(m) $
(2) 正六边形的内角和为:
$ (6 - 2) × 180^{\circ} = 720^{\circ} $.