15. (★★)如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 DC 上一点，F 是 CB 的延长线上的点，且 DE = BF，连接 AE，AF，EF.
(1) 求证：△ADE ≌ △ABF.
(2) 若 BC = 9，DE = 3，求 EF 的长.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
∵ F是CB延长线上一点，
∴ ∠ABF=180°-∠ABC=90°，
∴ ∠D=∠ABF，
在△ADE和△ABF中，
AD=AB，∠D=∠ABF，DE=BF，
∴ △ADE≌△ABF（SAS）.
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，BC=9，
∴ CD=BC=9，∠C=90°，
∵ DE=3，
∴ CE=CD-DE=9-3=6，
∵ △ADE≌△ABF，
∴ BF=DE=3，
∵ BC=9，
∴ FC=FB+BC=3+9=12，
在Rt△ECF中，EF=√(CE²+FC²)=√(6²+12²)=√(36+144)=√180=6√5.

16. (★★★)如图，P 是边长为 4 的正方形 ABCD 的边 BC 上任意一点，过点 B 作 BG⊥AP 于点 G，过点 C 作 CE⊥AP 于点 E，连接 BE.
(1) 如图①，若 P 是 BC 的中点，求 CE 的长；
(2) 如图②，当点 P 在 BC 边上运动时(不与点 B，C 重合)，求证：BE = √2(AG - CE).

(1) CE=6√5/5；(2) 见解析。

(1) ∵ 正方形ABCD边长为4，P为BC中点，∴ BP=2。
在Rt△ABP中，AP=√(AB²+BP²)=√(4²+2²)=2√5。
S△ABP=1/2×AB×BP=1/2×4×2=4，又S△ABP=1/2×AP×BG，∴ BG=4×2/(2√5)=4√5/5。
在Rt△ABG中，AG=√(AB²-BG²)=√(16-(16/5))=8√5/5。
∵ 四边形ABCE面积=S△ABP+S△APC=4+4=8，且四边形ABCE面积=1/2×(BG+CE)×AG，
∴ 1/2×(4√5/5 + CE)×8√5/5=8，解得CE=6√5/5。
(2) 过B作BF⊥CE交CE延长线于F。
∵ BG⊥AP，CE⊥AP，∴ 四边形BGEF为矩形，∴ BG=EF，GE=BF，∠BFC=90°。
∵ ∠ABG+∠GBP=90°，∠GBP+∠FBC=90°，∴ ∠ABG=∠FBC。
又AB=BC，∠AGB=∠BFC=90°，∴ △ABG≌△CBF(AAS)，∴ AG=BF，BG=CF。
∵ CF=CE+EF=CE+BG，∴ BG=AG-CE，即EF=AG-CE。
在Rt△BEF中，BF=AG=GE，EF=AG-CE，∠BFE=90°，
∴ BE=√(BF²+EF²)=√[(AG-CE)²+(AG-CE)²]=√2(AG-CE)。