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9. (★★)如图，四边形 ABCD 为正方形，点 E 在 BD 的延长线上，连接 EA，EC.
(1) 求证：△EAB ≌ △ECB；
(2) 若 DC = 6，∠AEC = 45°，求 DE 的长.
(1) 求证：△EAB ≌ △ECB；
(2) 若 DC = 6，∠AEC = 45°，求 DE 的长.
答案
(1) 见证明；(2) 6。
解析
(1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°。
∵点E在BD延长线上，∴∠ABE=∠CBE。
在△EAB和△ECB中，
$\{\begin{array}{l} AB=BC \\ ∠ABE=∠CBE \\ BE=BE \end{array} $，
∴△EAB≌△ECB(SAS)。
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形，DC=6，
∴BD=√(DC²+BC²)=√(6²+6²)=6√2，AC=BD=6√2，AC⊥BD，设AC与BD交于点O，则AO=OC=BO=OD=3√2。
由(1)知EA=EC，∴△EAC是等腰三角形，又AC⊥BD，∴OE平分∠AEC。
∵∠AEC=45°，∴∠AEO=∠AEC/2=22.5°。
在Rt△AOE中，tan∠AEO=AO/OE，即tan22.5°=3√2/OE。
∵tan22.5°=√2-1，∴OE=3√2/(√2-1)=6+3√2。
∵OE=OD+DE，OD=3√2，∴DE=OE-OD=6+3√2-3√2=6。
∵点E在BD延长线上，∴∠ABE=∠CBE。
在△EAB和△ECB中，
$\{\begin{array}{l} AB=BC \\ ∠ABE=∠CBE \\ BE=BE \end{array} $，
∴△EAB≌△ECB(SAS)。
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形，DC=6，
∴BD=√(DC²+BC²)=√(6²+6²)=6√2，AC=BD=6√2，AC⊥BD，设AC与BD交于点O，则AO=OC=BO=OD=3√2。
由(1)知EA=EC，∴△EAC是等腰三角形，又AC⊥BD，∴OE平分∠AEC。
∵∠AEC=45°，∴∠AEO=∠AEC/2=22.5°。
在Rt△AOE中，tan∠AEO=AO/OE，即tan22.5°=3√2/OE。
∵tan22.5°=√2-1，∴OE=3√2/(√2-1)=6+3√2。
∵OE=OD+DE，OD=3√2，∴DE=OE-OD=6+3√2-3√2=6。
10. (★★)如图，E 是正方形 ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接 EB，EA，延长 BE 交边 AD 于点 F.
(1) 求证：△ADE ≌ △BCE；
(2) 求∠AFB 的度数.
(1) 求证：△ADE ≌ △BCE；
(2) 求∠AFB 的度数.
答案
(1) 见证明过程；(2) 75°
解析
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°．
∵△CDE是等边三角形，
∴DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°．
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-60°=30°，
∠BCE=∠BCD-∠DCE=90°-60°=30°，
∴∠ADE=∠BCE．
在△ADE和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ ∠ ADE=∠ BCE\\ DE=CE\end{array} $，
∴△ADE≌△BCE（SAS）．
(2) 解：
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴BC=CE，即△BCE是等腰三角形．
∵∠BCE=30°，
∴∠CBE=$\frac{180°-∠ BCE}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF=∠ABC-∠CBE=90°-75°=15°．
在Rt△ABF中，∠BAF=90°，
∴∠AFB=90°-∠ABF=90°-15°=75°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°．
∵△CDE是等边三角形，
∴DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°．
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-60°=30°，
∠BCE=∠BCD-∠DCE=90°-60°=30°，
∴∠ADE=∠BCE．
在△ADE和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ ∠ ADE=∠ BCE\\ DE=CE\end{array} $，
∴△ADE≌△BCE（SAS）．
(2) 解：
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，
∴BC=CE，即△BCE是等腰三角形．
∵∠BCE=30°，
∴∠CBE=$\frac{180°-∠ BCE}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF=∠ABC-∠CBE=90°-75°=15°．
在Rt△ABF中，∠BAF=90°，
∴∠AFB=90°-∠ABF=90°-15°=75°．
11. (★)如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为 S₁，S₂ 的两个正方形所拼成的，且 S₁ = 25，S₂ = 144，则直角三角形的斜边 DE 的长为【 】
A.9
B.12
C.13
D.8√2
A.9
B.12
C.13
D.8√2
答案
C
解析
根据题意，可知$S_1$是小正方形的面积，边长为直角三角形的较短直角边，记为a；$S_2$是另一个小正方形的面积，边长为直角三角形的较长直角边，记为b。由题目已知$S_1=25$，$S_2=144$，所以：
$a=\sqrt{S_1}=\sqrt{25}=5$，
$b=\sqrt{S_2}=\sqrt{144}=12$。
直角三角形的斜边为大正方形边长的一部分，记为c，根据勾股定理：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。
因此，直角三角形的斜边$DE$的长度为13。
$a=\sqrt{S_1}=\sqrt{25}=5$，
$b=\sqrt{S_2}=\sqrt{144}=12$。
直角三角形的斜边为大正方形边长的一部分，记为c，根据勾股定理：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。
因此，直角三角形的斜边$DE$的长度为13。
12. (★)如图，P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BP = BC，则∠BPC 的度数是。
答案
67.5°
解析
在正方形ABCD中，BD为对角线，所以∠DBC=45°。因为BP=BC，所以△BPC为等腰三角形，∠BPC=∠BCP。根据三角形内角和定理，∠BPC+∠BCP+∠DBC=180°，即2∠BPC+45°=180°，解得∠BPC=67.5°。
13. (★★)如图，以正方形 ABCD 的边 AB 为边向其内部作等边三角形 ABE，连接 CE，DE. 若 AB = 2，则△CDE 的面积为。
答案
2 - √3
解析
建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)。
∵△ABE为等边三角形且在正方形内部，AB=2，
∴E在AB垂直平分线上，坐标为(1, √3)。
CD边在直线y=2上，长度为2，点E到CD距离为2 - √3。
△CDE面积=1/2×CD×高=1/2×2×(2 - √3)=2 - √3。
14. (★★)如图，动点 P 在正方形 ABCD 内部，E 为边 BC 的中点，且 PE = CE = 1.
(1) 当∠PCB = 25°时，∠PBC 的度数为；
(2) 点 D 到点 P 的最小距离为。
(1) 当∠PCB = 25°时，∠PBC 的度数为；
(2) 点 D 到点 P 的最小距离为。
答案
65°；√5 - 1
解析
(1)∵E为BC中点，PE=CE=1，∴CE=BE=1，PE=CE=1，△PEC为等腰三角形，∠PCE=25°，则∠EPC=25°，∠PEC=180°-25°-25°=130°，∠PEB=180°-130°=50°。又PE=BE=1，△PEB为等腰三角形，∠PBC=(180°-50°)/2=65°。
(2)以E为圆心，1为半径作圆，D(2,2)，E(1,0)，DE=√[(2-1)²+(2-0)²]=√5，点D到P最小距离为DE-半径=√5-1。
(2)以E为圆心，1为半径作圆，D(2,2)，E(1,0)，DE=√[(2-1)²+(2-0)²]=√5，点D到P最小距离为DE-半径=√5-1。
