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1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD$。要使四边形 $ABCD$ 为平行四边形，需添加的条件是(只需填一个你认为正确的条件)。
答案
$AB// CD$
解析
根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知$AB = CD$，若添加条件$AB// CD$，则四边形$ABCD$为平行四边形。
2. 已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，$AD = BC$，$∠ D=∠ DCE$。求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
答案
证明：
∵∠D=∠DCE（已知），
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
又∵AD=BC（已知），
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵∠D=∠DCE（已知），
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
又∵AD=BC（已知），
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
3. 已知：如图，$AC$ 是$□ ABCD$ 的对角线，$BE⊥ AC$ 于点 $E$，$DF⊥ AC$ 于点 $F$，连结 $DE$，$BF$。求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形。
答案
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAF=∠BCE。
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AFD=∠CEB=90°，DF//BE。
在△ADF和△CBE中，
∠DAF=∠BCE，∠AFD=∠CEB，AD=CB，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE。
∵DF//BE且DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAF=∠BCE。
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AFD=∠CEB=90°，DF//BE。
在△ADF和△CBE中，
∠DAF=∠BCE，∠AFD=∠CEB，AD=CB，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE。
∵DF//BE且DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形。
4. 已知：如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD = BC$，点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 上，$AE = CF$，$BE = DF$。求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
答案
证明：
∵AE=CF，AD=BC，
∴AD-AE=BC-CF，即ED=BF。
∵BE=DF，ED=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∴ED//BF（平行四边形对边平行）。
∵E在AD上，F在BC上，
∴AD//BC。
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵AE=CF，AD=BC，
∴AD-AE=BC-CF，即ED=BF。
∵BE=DF，ED=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
∴ED//BF（平行四边形对边平行）。
∵E在AD上，F在BC上，
∴AD//BC。
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
