1. 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即$σ^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，其中，$\overline{x}$是$x_{1}$，$x_{2}$，$···$，$x_{n}$的平均数，$σ^{2}$是方差。
2. 以计算$13$，$13$，$12$，$9$，$11$，$16$，$12$，$10$的方差为例，说明用计算器求方差的步骤：
(1) 开机，打开计算器；
(2) 菜单 2 1，启动“单变量统计”计算功能；
(3) 13 = 13 = ······ 10 = AC，输入所有数据；
(4) OPTN 2，即可获得这组数据的统计值，找出方差即可。

（无选择题，答案为方差 4）

1. 首先计算平均数 $\overline{x}$：
$\overline{x} = \frac{13 + 13 + 12 + 9 + 11 + 16 + 12 + 10}{8} = \frac{96}{8} = 12$
2. 计算各数据与平均数差的平方：
$(13 - 12)^2 = 1, \quad (13 - 12)^2 = 1, \quad (12 - 12)^2 = 0, \quad (9 - 12)^2 = 9, \quad (11 - 12)^2 = 1, \quad (16 - 12)^2 = 16, \quad (12 - 12)^2 = 0, \quad (10 - 12)^2 = 4$
3. 计算方差：
$σ^2 = \frac{1 + 1 + 0 + 9 + 1 + 16 + 0 + 4}{8} = \frac{32}{8} = 4$
使用计算器求方差的步骤如题所示，最终得到方差为 4。

【典例 1】小丽进行投掷标枪训练，总共投掷$10$次，前$9$次标枪的落点如图所示，记录成绩($m$)，此时这组成绩的平均数是$20m$，方差是$σ_{1}^{2}m^{2}$。若第$10$次投掷标枪的落点恰好在$20m$线上，且投掷结束后这组成绩的方差是$σ_{2}^{2}m^{2}$，则$σ_{1}^{2}\_\_\_\_\_\_σ_{2}^{2}$(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)。

解析：由题意，可得前$9$次投掷标枪的平均数和$10$次投掷标枪的平均数相同，均为$20m$。
$\because$第$10$次投掷标枪的落点恰好在$20m$线上，
$\thereforeσ_{2}^{2}=\frac{9}{10}σ_{1}^{2}$，$\thereforeσ_{1}^{2}＞σ_{2}^{2}$。

$＞$

解：由题意，前9次成绩的平均数为20m，设前9次成绩分别为$x_1,x_2,···,x_9$，则$\frac{x_1+x_2+···+x_9}{9}=20$，即$x_1+x_2+···+x_9=180$。
前9次成绩的方差$σ_{1}^{2}=\frac{1}{9}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+···+(x_9-20)^2]$。
第10次成绩为20m，10次成绩的平均数为$\frac{180 + 20}{10}=20$m，与前9次相同。
10次成绩的方差$σ_{2}^{2}=\frac{1}{10}[(x_1-20)^2+(x_2-20)^2+···+(x_9-20)^2+(20 - 20)^2]=\frac{1}{10} × 9σ_{1}^{2}=\frac{9}{10}σ_{1}^{2}$。
因为$\frac{9}{10}σ_{1}^{2}＜σ_{1}^{2}$，所以$σ_{1}^{2}＞σ_{2}^{2}$。

【对点训练】
1. 有一组数据如下：$92$，$93$，$a$，$94$，$95$，它们的平均数是$93$，则这组数据的方差是。

2

已知数据为 $92$，$93$，$a$，$94$，$95$，平均数为 $93$。
1. 求 $a$ 的值：
由平均数公式得：
$\frac{92 + 93 + a + 94 + 95}{5} = 93$
$\frac{374 + a}{5} = 93 \implies 374 + a = 465 \implies a = 91$
2. 计算方差：
数据为 $91$，$92$，$93$，$94$，$95$，平均数 $\bar{x} = 93$。
方差公式为：
$S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$
逐项计算：
$(91-93)^2 = 4, \quad (92-93)^2 = 1, \quad (93-93)^2 = 0$
$(94-93)^2 = 1, \quad (95-93)^2 = 4$
求和：
$4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$
方差为：
$S^2 = \frac{10}{5} = 2$

【典例 2】今有甲、乙两人跳高成绩按先后次序记录如下：
甲：$1.9$，$1.6$，$1.7$，$1.6$，$1.2$，$1.7$，$1.7$，$1.9$，$1.8$，$1.9$；
乙：$1.2$，$1.4$，$1.6$，$1.8$，$1.7$，$1.7$，$1.8$，$1.9$，$1.9$，$2.0$。
请你运用学过的统计知识回答下列问题：
(1) 裁判根据他们的成绩最终判定甲获胜，你能说出裁判判定甲获胜的理由吗？
(2) 教练根据他们的成绩最终选择乙去参加比赛，你能不能说出教练让乙去比赛的理由？
解析：(1) 甲的平均成绩：$\overline{x}_{甲}=(1.9×3 + 1.8 + 1.7×3 + 1.6×2 + 1.2)÷10 = 1.7$（米），
乙的平均成绩：$\overline{x}_{乙}=(2.0 + 1.9×2 + 1.8×2 + 1.7×2 + 1.6 + 1.4 + 1.2)÷10 = 1.7$（米）；
甲的成绩的众数是$1.9$米和$1.7$米，中位数是$1.7$米；乙的成绩的众数是$1.9$米，$1.8$米和$1.7$米，中位数是$1.75$米；
甲的成绩的方差：$σ_{甲}^{2}=\frac{1}{10}(3×0.2^{2} + 3×0.1^{2} + 0.5^{2}) = 0.04$；
乙的成绩的方差：$σ_{乙}^{2}=\frac{1}{10}(2×0.3^{2} + 2×0.2^{2} + 3×0.1^{2} + 0.5^{2}) = 0.054$；
$\thereforeσ_{甲}^{2}＜σ_{乙}^{2}$，$\therefore$裁判评判甲获胜的理由是甲的成绩更稳定。
(2) 选择乙去参加比赛，因为乙的成绩在逐步提高，而且最后成绩高于甲。

(1) 甲、乙平均成绩均为1.7米。甲的方差：$σ_{甲}^{2}=\frac{1}{10}[3×(1.9 - 1.7)^{2}+(1.8 - 1.7)^{2}+3×(1.7 - 1.7)^{2}+2×(1.6 - 1.7)^{2}+(1.2 - 1.7)^{2}]=0.04$；乙的方差：$σ_{乙}^{2}=\frac{1}{10}[(1.2 - 1.7)^{2}+(1.4 - 1.7)^{2}+(1.6 - 1.7)^{2}+2×(1.8 - 1.7)^{2}+2×(1.7 - 1.7)^{2}+2×(1.9 - 1.7)^{2}+(2.0 - 1.7)^{2}]=0.054$。因为$σ_{甲}^{2}＜σ_{乙}^{2}$，甲成绩更稳定，故裁判判甲获胜。
(2) 乙的成绩依次为1.2,1.4,1.6,1.8,1.7,1.7,1.8,1.9,1.9,2.0，整体呈上升趋势，且最后成绩2.0米高于甲的1.9米，故教练选乙参赛。