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1. 在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是(
A.0
B.1
C.2
D.无数
B
)A.0
B.1
C.2
D.无数
答案
1.B
解析
【分析】
首先回忆平面内垂线的相关性质，思考过一点画已知直线的垂线的情况：在平面内，无论这个点是在已知直线上还是直线外，根据垂线的性质，都有且只有一条直线与已知直线垂直。接下来结合选项判断，A选项0条不符合实际，C选项2条、D选项无数条均与垂线性质相悖，因此正确答案应为1条。
【解析】
根据平面内垂线的基本性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。无论该点位于已知直线上还是直线外，都满足这一结论，所以过一点画已知直线的垂线，可画的条数是1条。
【答案】
B
【知识点】
垂线的性质
【点评】
本题考查平面内垂线的基本性质，属于基础概念题，需要准确牢记“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质，避免与平行线的相关性质混淆，同时要注意题目限定的“平面内”这一前提条件。
【难度系数】
0.9
首先回忆平面内垂线的相关性质，思考过一点画已知直线的垂线的情况：在平面内，无论这个点是在已知直线上还是直线外，根据垂线的性质，都有且只有一条直线与已知直线垂直。接下来结合选项判断，A选项0条不符合实际，C选项2条、D选项无数条均与垂线性质相悖，因此正确答案应为1条。
【解析】
根据平面内垂线的基本性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。无论该点位于已知直线上还是直线外，都满足这一结论，所以过一点画已知直线的垂线，可画的条数是1条。
【答案】
B
【知识点】
垂线的性质
【点评】
本题考查平面内垂线的基本性质，属于基础概念题，需要准确牢记“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质，避免与平行线的相关性质混淆，同时要注意题目限定的“平面内”这一前提条件。
【难度系数】
0.9
2. 如图，笔直小路 DE 的一侧栽种有两棵小树 BM，CN，小明测得 AB = 4m，AC = 6m，则点 A 到 DE 的距离可能为(
A.6m
B.5m
C.7m
D.3m
D
)A.6m
B.5m
C.7m
D.3m
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。根据“垂线段最短”的性质，点A到DE的距离（即过A作DE的垂线段长度）一定小于连接A与DE上点的线段长度，也就是小于AB和AC的长度。已知AB=4m，所以点A到DE的距离必须小于4m，据此结合选项判断即可。
【解析】
根据点到直线的距离的定义，点A到DE的距离是过点A作DE的垂线段的长度。
由“垂线段最短”的性质可知，该垂线段的长度小于AB的长度（AB=4m）。
分析选项：
A. 6m＞4m，不符合；
B. 5m＞4m，不符合；
C. 7m＞4m，不符合；
D. 3m＜4m，符合。
因此，点A到DE的距离可能为3m。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题主要考查垂线段最短性质的应用，解题的关键是准确理解点到直线距离的概念，通过垂线段与已知线段的长度比较筛选出正确选项，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。根据“垂线段最短”的性质，点A到DE的距离（即过A作DE的垂线段长度）一定小于连接A与DE上点的线段长度，也就是小于AB和AC的长度。已知AB=4m，所以点A到DE的距离必须小于4m，据此结合选项判断即可。
【解析】
根据点到直线的距离的定义，点A到DE的距离是过点A作DE的垂线段的长度。
由“垂线段最短”的性质可知，该垂线段的长度小于AB的长度（AB=4m）。
分析选项：
A. 6m＞4m，不符合；
B. 5m＞4m，不符合；
C. 7m＞4m，不符合；
D. 3m＜4m，符合。
因此，点A到DE的距离可能为3m。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离；垂线段最短
【点评】
本题主要考查垂线段最短性质的应用，解题的关键是准确理解点到直线距离的概念，通过垂线段与已知线段的长度比较筛选出正确选项，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，下列条件中不能说明 AB⊥CD 的是(
A.∠AOC = 90°
B.∠AOC = ∠BOC
C.∠AOC = ∠BOD
D.∠AOC + ∠BOD = 180°
C
)A.∠AOC = 90°
B.∠AOC = ∠BOC
C.∠AOC = ∠BOD
D.∠AOC + ∠BOD = 180°
答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个条件不能说明AB⊥CD，需结合垂直的定义（两条直线相交所成的角为90°时，两直线垂直），对每个选项逐一分析：
1. 对于选项A，若∠AOC=90°，直接符合垂直的定义，可判定AB⊥CD；
2. 对于选项B，∠AOC与∠BOC是邻补角，和为180°，若二者相等，则每个角为90°，能判定AB⊥CD；
3. 对于选项C，∠AOC与∠BOD是对顶角，对顶角本身就相等，无论AB与CD是否垂直，该等式都成立，因此不能判定AB⊥CD；
4. 对于选项D，∠AOC与∠BOD是对顶角，二者相等，若它们的和为180°，则每个角为90°，可判定AB⊥CD。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：
∵∠AOC=90°，根据垂直的定义，可得AB⊥CD；
选项B：
∵∠AOC+∠BOC=180°（邻补角的性质），且∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC=90°，根据垂直的定义，可得AB⊥CD；
选项C：∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角的性质，∠AOC=∠BOD恒成立，无法推出∠AOC=90°，不能说明AB⊥CD；
选项D：
∵∠AOC=∠BOD（对顶角的性质），且∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠AOC=∠BOD=90°，根据垂直的定义，可得AB⊥CD。
综上，不能说明AB⊥CD的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
垂直的定义、对顶角的性质、邻补角的性质
【点评】
本题主要考查垂直的定义及对顶角、邻补角的性质，解题关键是明确：只有能推出两直线相交所成的角为90°的条件，才能判定两直线垂直，需注意对顶角相等是普遍成立的性质，不能直接用于判定垂直。
【难度系数】
0.8
要判断哪个条件不能说明AB⊥CD，需结合垂直的定义（两条直线相交所成的角为90°时，两直线垂直），对每个选项逐一分析：
1. 对于选项A，若∠AOC=90°，直接符合垂直的定义，可判定AB⊥CD；
2. 对于选项B，∠AOC与∠BOC是邻补角，和为180°，若二者相等，则每个角为90°，能判定AB⊥CD；
3. 对于选项C，∠AOC与∠BOD是对顶角，对顶角本身就相等，无论AB与CD是否垂直，该等式都成立，因此不能判定AB⊥CD；
4. 对于选项D，∠AOC与∠BOD是对顶角，二者相等，若它们的和为180°，则每个角为90°，可判定AB⊥CD。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：
∵∠AOC=90°，根据垂直的定义，可得AB⊥CD；
选项B：
∵∠AOC+∠BOC=180°（邻补角的性质），且∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=∠BOC=90°，根据垂直的定义，可得AB⊥CD；
选项C：∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角的性质，∠AOC=∠BOD恒成立，无法推出∠AOC=90°，不能说明AB⊥CD；
选项D：
∵∠AOC=∠BOD（对顶角的性质），且∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠AOC=∠BOD=90°，根据垂直的定义，可得AB⊥CD。
综上，不能说明AB⊥CD的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
垂直的定义、对顶角的性质、邻补角的性质
【点评】
本题主要考查垂直的定义及对顶角、邻补角的性质，解题关键是明确：只有能推出两直线相交所成的角为90°的条件，才能判定两直线垂直，需注意对顶角相等是普遍成立的性质，不能直接用于判定垂直。
【难度系数】
0.8
4. 下列选项中，过点 P 画 AB 的垂线 CD，三角板放法正确的是(
C
)答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先得明确用三角板画过点P的AB的垂线的正确思路：画垂线时，三角板的一条直角边必须与直线AB重合，另一条直角边要经过点P，这样沿着这条经过P的直角边画出的直线才是AB的垂线。我们需要逐一判断每个选项的三角板放法是否符合这个要求。
【解析】
用三角板画过点P的AB的垂线，正确的操作是：将三角板的一条直角边与直线AB重合，确保另一条直角边经过点P，此时沿着这条经过P的直角边画直线，就能得到AB的垂线。
对各选项分析：
选项A：三角板的直角边未与AB重合，无法画出AB的垂线；
选项B：三角板的位置错误，没有让直角边与AB重合且经过P点；
选项C：三角板的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点P，符合画垂线的要求；
选项D：三角板的直角边没有与AB正确重合，不符合要求。
因此正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角板画垂线
【点评】
本题考查基础的几何作图方法，掌握用三角板画垂线的正确操作是关键，需牢记“直角边与已知直线重合，另一直角边经过指定点”的核心要点，这是后续复杂几何作图的基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先得明确用三角板画过点P的AB的垂线的正确思路：画垂线时，三角板的一条直角边必须与直线AB重合，另一条直角边要经过点P，这样沿着这条经过P的直角边画出的直线才是AB的垂线。我们需要逐一判断每个选项的三角板放法是否符合这个要求。
【解析】
用三角板画过点P的AB的垂线，正确的操作是：将三角板的一条直角边与直线AB重合，确保另一条直角边经过点P，此时沿着这条经过P的直角边画直线，就能得到AB的垂线。
对各选项分析：
选项A：三角板的直角边未与AB重合，无法画出AB的垂线；
选项B：三角板的位置错误，没有让直角边与AB重合且经过P点；
选项C：三角板的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点P，符合画垂线的要求；
选项D：三角板的直角边没有与AB正确重合，不符合要求。
因此正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角板画垂线
【点评】
本题考查基础的几何作图方法，掌握用三角板画垂线的正确操作是关键，需牢记“直角边与已知直线重合，另一直角边经过指定点”的核心要点，这是后续复杂几何作图的基础。
【难度系数】
0.8
5. 如图，∠O = 38°，DC⊥OB，EC⊥OA，则∠DCE =(
A.36°
B.38°
C.42°
D.52°
B
)A.36°
B.38°
C.42°
D.52°
答案
5.B
解析
【分析】
首先，我们需要利用垂直的性质得到直角，再通过直角三角形的互余关系推导∠DCE与∠O的关系。解题思路如下：
1. 根据EC⊥OA、DC⊥OB，可得到两个直角∠ECO和∠ODC；
2. 在Rt△OCD中，利用直角三角形两锐角互余求出∠OCD的度数；
3. 再结合∠ECO=90°，通过角的和差关系计算出∠DCE的度数，或者利用同角的余角相等直接得出∠DCE=∠O。
【解析】
1. 由垂直的性质可知：
因为 $ EC ⊥ OA $，所以 $ ∠ ECO = 90° $；
因为 $ DC ⊥ OB $，所以 $ ∠ ODC = 90° $。
2. 在 $ \mathrm{Rt}△ OCD $ 中，根据直角三角形两锐角互余：
$ ∠ OCD = 90° - ∠ O = 90° - 38° = 52° $。
3. 因为 $ ∠ ECO = ∠ DCE + ∠ OCD = 90° $，所以：
$ ∠ DCE = 90° - ∠ OCD = 90° - 52° = 38° $。
【答案】
B
【知识点】
垂直的性质；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题考查垂直性质与直角三角形角度关系的综合应用，解题关键是准确识别图形中的垂直关系，通过角的互余或和差关系建立已知角与未知角的联系，题目较为基础，侧重对几何基本概念的应用考查。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要利用垂直的性质得到直角，再通过直角三角形的互余关系推导∠DCE与∠O的关系。解题思路如下：
1. 根据EC⊥OA、DC⊥OB，可得到两个直角∠ECO和∠ODC；
2. 在Rt△OCD中，利用直角三角形两锐角互余求出∠OCD的度数；
3. 再结合∠ECO=90°，通过角的和差关系计算出∠DCE的度数，或者利用同角的余角相等直接得出∠DCE=∠O。
【解析】
1. 由垂直的性质可知：
因为 $ EC ⊥ OA $，所以 $ ∠ ECO = 90° $；
因为 $ DC ⊥ OB $，所以 $ ∠ ODC = 90° $。
2. 在 $ \mathrm{Rt}△ OCD $ 中，根据直角三角形两锐角互余：
$ ∠ OCD = 90° - ∠ O = 90° - 38° = 52° $。
3. 因为 $ ∠ ECO = ∠ DCE + ∠ OCD = 90° $，所以：
$ ∠ DCE = 90° - ∠ OCD = 90° - 52° = 38° $。
【答案】
B
【知识点】
垂直的性质；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题考查垂直性质与直角三角形角度关系的综合应用，解题关键是准确识别图形中的垂直关系，通过角的互余或和差关系建立已知角与未知角的联系，题目较为基础，侧重对几何基本概念的应用考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知 AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，若 BC = 8，AC = 6，CD = 4.8，BD = 6.4，AD = 3.6. 则
(1)点 A 到直线 CD 的距离为
(2)点 A 到直线 BC 的距离为
(3)点 B 到直线 CD 的距离为
(4)点 B 到直线 AC 的距离为
(5)点 C 到直线 AB 的距离为
(1)点 A 到直线 CD 的距离为
3.6
。(2)点 A 到直线 BC 的距离为
6
。(3)点 B 到直线 CD 的距离为
6.4
。(4)点 B 到直线 AC 的距离为
8
。(5)点 C 到直线 AB 的距离为
4.8
。答案
6. (1)3.6 (2)6 (3)6.4 (4)8 (5)4.8
解析
【分析】
要解决这道题，核心是理解点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，就是该点到这条直线的距离。我们需要针对每个问题，找到对应点到目标直线的垂线段，其长度即为所求距离：
1. 点A到直线CD的距离：因CD⊥AB，AD是点A到直线CD的垂线段，取AD的长度即可；
2. 点A到直线BC的距离：因AC⊥BC，AC是点A到直线BC的垂线段，取AC的长度即可；
3. 点B到直线CD的距离：因CD⊥AB，BD是点B到直线CD的垂线段，取BD的长度即可；
4. 点B到直线AC的距离：因AC⊥BC，BC是点B到直线AC的垂线段，取BC的长度即可；
5. 点C到直线AB的距离：因CD⊥AB，CD是点C到直线AB的垂线段，取CD的长度即可。
【解析】
(1) 已知$CD⊥AB$，$AD$是点$A$到直线$CD$的垂线段，且$AD=3.6$，所以点$A$到直线$CD$的距离为$3.6$；
(2) 已知$AC⊥BC$，$AC$是点$A$到直线$BC$的垂线段，且$AC=6$，所以点$A$到直线$BC$的距离为$6$；
(3) 已知$CD⊥AB$，$BD$是点$B$到直线$CD$的垂线段，且$BD=6.4$，所以点$B$到直线$CD$的距离为$6.4$；
(4) 已知$AC⊥BC$，$BC$是点$B$到直线$AC$的垂线段，且$BC=8$，所以点$B$到直线$AC$的距离为$8$；
(5) 已知$CD⊥AB$，$CD$是点$C$到直线$AB$的垂线段，且$CD=4.8$，所以点$C$到直线$AB$的距离为$4.8$。
【答案】
(1)$3.6$ (2)$6$ (3)$6.4$ (4)$8$ (5)$4.8$
【知识点】
点到直线的距离
【点评】
本题主要考查点到直线距离的定义，解题关键是准确识别对应点到直线的垂线段，明确垂线段长度就是点到直线的距离，侧重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，核心是理解点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线所作的垂线段的长度，就是该点到这条直线的距离。我们需要针对每个问题，找到对应点到目标直线的垂线段，其长度即为所求距离：
1. 点A到直线CD的距离：因CD⊥AB，AD是点A到直线CD的垂线段，取AD的长度即可；
2. 点A到直线BC的距离：因AC⊥BC，AC是点A到直线BC的垂线段，取AC的长度即可；
3. 点B到直线CD的距离：因CD⊥AB，BD是点B到直线CD的垂线段，取BD的长度即可；
4. 点B到直线AC的距离：因AC⊥BC，BC是点B到直线AC的垂线段，取BC的长度即可；
5. 点C到直线AB的距离：因CD⊥AB，CD是点C到直线AB的垂线段，取CD的长度即可。
【解析】
(1) 已知$CD⊥AB$，$AD$是点$A$到直线$CD$的垂线段，且$AD=3.6$，所以点$A$到直线$CD$的距离为$3.6$；
(2) 已知$AC⊥BC$，$AC$是点$A$到直线$BC$的垂线段，且$AC=6$，所以点$A$到直线$BC$的距离为$6$；
(3) 已知$CD⊥AB$，$BD$是点$B$到直线$CD$的垂线段，且$BD=6.4$，所以点$B$到直线$CD$的距离为$6.4$；
(4) 已知$AC⊥BC$，$BC$是点$B$到直线$AC$的垂线段，且$BC=8$，所以点$B$到直线$AC$的距离为$8$；
(5) 已知$CD⊥AB$，$CD$是点$C$到直线$AB$的垂线段，且$CD=4.8$，所以点$C$到直线$AB$的距离为$4.8$。
【答案】
(1)$3.6$ (2)$6$ (3)$6.4$ (4)$8$ (5)$4.8$
【知识点】
点到直线的距离
【点评】
本题主要考查点到直线距离的定义，解题关键是准确识别对应点到直线的垂线段，明确垂线段长度就是点到直线的距离，侧重对基础概念的理解与应用。
【难度系数】
0.9
7. 如图，现要从村庄 A 修建一条连结公路 CD 的最短小路，过点 A 作 AB⊥CD 于点 B，沿 AB 修建公路，则这样做的理由是
垂线段最短
。答案
7.垂线段最短
解析
【分析】
首先把实际问题转化为几何问题：村庄A可看作一个点，公路CD可看作一条直线，修建从A到CD的最短小路，本质是寻找从点A到直线CD的最短连线。根据几何知识，点到直线的所有连线里，垂线段的长度是最短的，所以过A作AB⊥CD于B，沿AB修建公路是最短路径，理由就是垂线段最短。
【解析】
点到直线的所有线段中，垂线段最短，AB是点A到直线CD的垂线段，因此沿AB修建的小路是连接村庄A到公路CD的最短路径，所以这样做的理由是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题考查垂线段最短的实际应用，解题关键是将实际场景中的村庄和公路转化为几何中的点与直线，理解并运用垂线段最短的性质解决实际问题。
【难度系数】
0.9
首先把实际问题转化为几何问题：村庄A可看作一个点，公路CD可看作一条直线，修建从A到CD的最短小路，本质是寻找从点A到直线CD的最短连线。根据几何知识，点到直线的所有连线里，垂线段的长度是最短的，所以过A作AB⊥CD于B，沿AB修建公路是最短路径，理由就是垂线段最短。
【解析】
点到直线的所有线段中，垂线段最短，AB是点A到直线CD的垂线段，因此沿AB修建的小路是连接村庄A到公路CD的最短路径，所以这样做的理由是垂线段最短。
【答案】
垂线段最短
【知识点】
垂线段最短
【点评】
本题考查垂线段最短的实际应用，解题关键是将实际场景中的村庄和公路转化为几何中的点与直线，理解并运用垂线段最短的性质解决实际问题。
【难度系数】
0.9
