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4. 若方程组 $\begin{cases}y = 2x - 1, \\ 3x + y = -11\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = m, \\ y = n,\end{cases}$ 则平面直角坐标系中，点 $(m,n)$ 在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
将 $y = 2x - 1$ 代入 $3x + y = -11$，
得 $3x + (2x - 1) = -11$，
化简得 $5x - 1 = -11$，
解得 $5x = -10$，
所以 $x = -2$。
将 $x = -2$ 代入 $y = 2x - 1$，
得 $y = 2 × (-2) - 1 = -5$。
因此 $m = -2$，$n = -5$，点 $(-2, -5)$ 在第三象限。
二、填空题
5. 用代入法解方程组 $\begin{cases}2x - y = 5 & ①, \\ 3x + 4y = 2 & ②,\end{cases}$ 可以先消的元是 ______ ，具体是将方程 ______ (填“①”或“②”)变形为 ______ ，代入方程 ______ (填“①”或“②”).
5. 用代入法解方程组 $\begin{cases}2x - y = 5 & ①, \\ 3x + 4y = 2 & ②,\end{cases}$ 可以先消的元是 ______ ，具体是将方程 ______ (填“①”或“②”)变形为 ______ ，代入方程 ______ (填“①”或“②”).
答案
y；①；y=2x-5；②
6. 二元一次方程组 $\begin{cases}y = x - 5, \\ 2x + y = 16\end{cases}$ 的解是 ______ .
答案
$\begin{cases} x=7 \\ y=2 \end{cases}$
解题步骤：
1. 将$y = x - 5$代入$2x + y = 16$，得$2x + (x - 5) = 16$。
2. 化简得$3x - 5 = 16$，移项得$3x = 21$，解得$x = 7$。
3. 将$x = 7$代入$y = x - 5$，得$y = 7 - 5 = 2$。
4. 方程组的解为$\begin{cases} x=7 \\ y=2 \end{cases}$。
解题步骤：
1. 将$y = x - 5$代入$2x + y = 16$，得$2x + (x - 5) = 16$。
2. 化简得$3x - 5 = 16$，移项得$3x = 21$，解得$x = 7$。
3. 将$x = 7$代入$y = x - 5$，得$y = 7 - 5 = 2$。
4. 方程组的解为$\begin{cases} x=7 \\ y=2 \end{cases}$。
7. 定义运算“$*$”，规定 $x * y = ax^2 + by$，其中 $a,b$ 为常数. 若 $1 * 2 = 5$，$2 * 1 = 6$，则 $2 * 3$ 的值为.
答案
由题意得：
$\begin{cases}a · 1^2 + b · 2 = 5 \\a · 2^2 + b · 1 = 6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + 2b = 5 \quad (1) \\4a + b = 6 \quad (2)\end{cases}$
由(2)得：$b = 6 - 4a$，代入(1)：
$a + 2(6 - 4a) = 5$
$a + 12 - 8a = 5$
$-7a = -7$
$a = 1$
将$a = 1$代入$b = 6 - 4a$，得$b = 2$
则$2*3 = a · 2^2 + b · 3 = 4a + 3b = 4×1 + 3×2 = 10$
10
$\begin{cases}a · 1^2 + b · 2 = 5 \\a · 2^2 + b · 1 = 6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + 2b = 5 \quad (1) \\4a + b = 6 \quad (2)\end{cases}$
由(2)得：$b = 6 - 4a$，代入(1)：
$a + 2(6 - 4a) = 5$
$a + 12 - 8a = 5$
$-7a = -7$
$a = 1$
将$a = 1$代入$b = 6 - 4a$，得$b = 2$
则$2*3 = a · 2^2 + b · 3 = 4a + 3b = 4×1 + 3×2 = 10$
10
三、解答题
8. 用代入法解下列方程组.
(1) $\begin{cases}x - 3 = 2y, \\ 2x + 1 = 3y; \end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x + 3y = 12, \\ 2x - y = 4. \end{cases}$
8. 用代入法解下列方程组.
(1) $\begin{cases}x - 3 = 2y, \\ 2x + 1 = 3y; \end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x + 3y = 12, \\ 2x - y = 4. \end{cases}$
答案
(1)$\begin{cases}x = -11 \\ y = -7 \end{cases}$；(2)$\begin{cases}x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$
解析
(1) $\begin{cases}x - 3 = 2y,① \\ 2x + 1 = 3y;② \end{cases}$
由①得$x = 2y + 3.③$
把③代入②得$2(2y + 3) + 1 = 3y$
$4y + 6 + 1 = 3y$
$4y - 3y = -7$
$y = -7$
把$y = -7$代入③得$x = 2×(-7) + 3 = -11$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -11 \\ y = -7 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x + 3y = 12,① \\ 2x - y = 4.② \end{cases}$
由②得$y = 2x - 4.③$
把③代入①得$2x + 3(2x - 4) = 12$
$2x + 6x - 12 = 12$
$8x = 24$
$x = 3$
把$x = 3$代入③得$y = 2×3 - 4 = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$
由①得$x = 2y + 3.③$
把③代入②得$2(2y + 3) + 1 = 3y$
$4y + 6 + 1 = 3y$
$4y - 3y = -7$
$y = -7$
把$y = -7$代入③得$x = 2×(-7) + 3 = -11$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -11 \\ y = -7 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x + 3y = 12,① \\ 2x - y = 4.② \end{cases}$
由②得$y = 2x - 4.③$
把③代入①得$2x + 3(2x - 4) = 12$
$2x + 6x - 12 = 12$
$8x = 24$
$x = 3$
把$x = 3$代入③得$y = 2×3 - 4 = 2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$
9. 如图，用 10 块形状、大小相同的小长方形地砖无缝隙、无重叠地拼成一个大长方形图案. 求小长方形地砖的长和宽.
答案
小长方形地砖的长为15cm，宽为5cm。
解析
设小长方形地砖的长为$x$cm，宽为$y$cm。由图可知，大长方形的宽为25cm，且大长方形的宽由5个小长方形的宽组成，可得$5y = 25$；大长方形的长可表示为$2x$，也可表示为$x + 3y$，故$2x = x + 3y$。联立方程组$\begin{cases}5y=25\\2x=x+3y\end{cases}$，解得$\begin{cases}y=5\\x=15\end{cases}$。
