例1 在等式$\frac{1}{6}=$　　　 +　　　 的括号内填入适当的不同的自然数，使等式成立。
分析：解答此类题目的方法不止一种，这里介绍因数法。
先求出6的因数，然后把$\frac{1}{6}$的分子、分母同时乘任意两个因数的和，再把所得的分数拆成两个分数的和，最后再把两个分数中可以约分的约成最简分数。但要注意所取的两个因数的公因数只能是1，如果除了1之外，还有别的公因数，那么所得结果会相同，如取1和2与取3和6的结果相同。
解答：6的因数有1、2、3、6。
取1和2：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 2}{6\times(1 + 2)}=\frac{1}{18}+\frac{2}{18}=\frac{1}{18}+\frac{1}{9}$；
取1和3：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 3}{6\times(1 + 3)}=\frac{1}{24}+\frac{3}{24}=\frac{1}{24}+\frac{1}{8}$；
取1和6：$\frac{1}{6}=\frac{1 + 6}{6\times(1 + 6)}=\frac{1}{42}+\frac{6}{42}=\frac{1}{42}+\frac{1}{7}$；
取2和3：$\frac{1}{6}=\frac{2 + 3}{6\times(2 + 3)}=\frac{2}{30}+\frac{3}{30}=\frac{1}{15}+\frac{1}{10}$。
所以括号里一共有4种填法：① 18和9；② 24和8；③ 42和7；④ 15和10。

反馈练习
1. 在括号里填入不同的自然数，使等式成立。
(1)$\frac{1}{8}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$
(2)$\frac{1}{10}=\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}+\frac{1}{( )}$

1. (1)24 12(或40 10或72 9) 提示：8的因数有1、2、4、8。取1和2，$\frac{1}{8}=\frac{1 + 2}{8\times(1 + 2)}=\frac{1}{24}+\frac{2}{24}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}$；取1和4，$\frac{1}{8}=\frac{1 + 4}{8\times(1 + 4)}=\frac{1}{40}+\frac{4}{40}=\frac{1}{40}+\frac{1}{10}$；取1和8，$\frac{1}{8}=\frac{1 + 8}{8\times(1 + 8)}=\frac{1}{72}+\frac{8}{72}=\frac{1}{72}+\frac{1}{9}$。
(2)30 60 20(答案不唯一) 提示：不妨先取10的因数中的1和2，把$\frac{1}{10}$写成两个单位分数的和，$\frac{1}{10}=\frac{1 + 2}{10\times(1 + 2)}=\frac{1}{30}+\frac{2}{30}=\frac{1}{30}+\frac{1}{15}$。接着取15的因数中的1和3，把$\frac{1}{15}$写成两个单位分数的和，$\frac{1}{15}=\frac{1 + 3}{15\times(1 + 3)}=\frac{1}{60}+\frac{3}{60}=\frac{1}{60}+\frac{1}{20}$。

例2 (1)计算：
$1-\frac{1}{2}=$　　$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=$　　　$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=$　　　$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=$　　
(2)计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$。
分析：运用通分的方法计算第(2)题会很复杂。如果先计算出第(1)题各算式的结果，再与第(2)题进行对比就会发现，第(2)题前4个加数分别是第(1)题各算式的结果，因此可以将第(2)题的各个加数按第(1)题的规律替换成相对应的算式，然后将中间的很多分数相互抵消，就能很快计算出结果。
解答：(1)$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{20}$
(2)$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}$

反馈练习
2. 计算：$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}$。

原式$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$
提示：把$\frac{1}{6}$换成$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$，$\frac{1}{12}$换成$(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})$，$\cdots$，以此类推，减$\frac{1}{3}$加$\frac{1}{3}$，减$\frac{1}{4}$加$\frac{1}{4}$，$\cdots$，减$\frac{1}{9}$加$\frac{1}{9}$，结果均为0，所以最后就剩下$\frac{1}{2}-\frac{1}{10}$。

3. 计算：$1-\frac{1}{20}-\frac{1}{30}-\frac{1}{42}-\frac{1}{56}-\frac{1}{72}-\frac{1}{90}-\frac{1}{110}-\frac{1}{132}$。

原式$=1 - (\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}+\frac{1}{132})$
$=1 - (\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{11}-\frac{1}{12})$
$=1 - (\frac{1}{4}-\frac{1}{12})$
$=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ 提示：把原式中的$\frac{1}{20}$换成$(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})$，$\frac{1}{30}$换成$(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})$，$\cdots$，以此类推，减$\frac{1}{5}$加$\frac{1}{5}$，减$\frac{1}{6}$加$\frac{1}{6}$，$\cdots$，结果均为0，所以最后就剩下$1 - (\frac{1}{4}-\frac{1}{12})$。