9. 如图,矩形OABC的顶点A在反比例函数$y=\frac {k}{x}(x＜0)$的图像上,顶点B、C在第一象限内,对角线$AC// x$轴,交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6,$\cos ∠OAC=\frac {2}{3}$,求k的值.
(第9题)

解:因为$​cos∠OAC=\frac {2}{3}​$
所以$​cos∠OAC=\frac {AD}{AO}=\frac {AO}{AC}=\frac {2}{3}​$
设​AD=2a，​则​AO=3a​
所以$​AC=\frac {9}{2}a​$
所以$​\frac {AD}{AC}=\frac {2a}{\frac {9}{2}a}=\frac {4}{9}​$
所以$​2S_{△AOD}=\frac {4}{9}×2×S_{△AOC}=\frac {8}{9}×6=\frac {8}{3}​$
因为​k＜0​
所以$​k=-\frac {8}{3}​$

例1 对于锐角α，若$\tan \alpha =\frac {3}{4}$，求$\sin \alpha$、$\cos \alpha$的值.

​解：如图所示，∠B=a， ∠C=90°​
​设AC=3x​
​在Rt△ABC中​
​因为AC=3x，$tana=\frac {AC}{BC}=\frac {3}{4}​$
​所以BC=4x​
​所以$AB=\sqrt{AC²+BC²}= 5x​$
$​sina=\frac {AC}{AB}=\frac {3}{5}​$
$​cosa=\frac {BC}{AB}=\frac {4}{5}​$

例2 在透明纸上画一个$45^{\circ }$角，记为$∠AOB$，将$∠AOB$剪下，摆放在一把刻度尺上(图7.2.2)，顶点O与刻度尺下边缘的端点重合，OA与刻度尺下边缘重合，OB与刻度尺上边缘的交点B在刻度尺上的读数为2cm.若按相同的方式将$37^{\circ }$的$∠AOC$放置在该刻度尺上，求OC与刻度尺上边缘的交点C在刻度尺上的读数.(精确到0.1cm；参考数据：$\sin 37^{\circ }\approx 0.60,\cos 37^{\circ }\approx 0.80,\tan 37^{\circ }\approx 0.75$)
图7.2.2

解:过点​B​作​BD⊥OA​于​D，​
过点​C​作​CE⊥OA​于​E.

​
在​△BOD​中，​∠BDO=90°，​​∠DOB=45°，​
所以$​BD=OD=2\ \mathrm {cm}，$​
所以$​CE=BD=2\ \mathrm {cm}.​$
在​△COE​中，​∠CEO=90°，​​ ∠COE=37°，​
所以$​tan_{37}°=\frac {CE}{OE}≈0.75，$​
所以$​OE≈2.7\ \mathrm {cm}.​$
所以​OC​与尺上沿的交点​C​在尺上的读数约为$​2.7\ \mathrm {cm}.$
​