7. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$AB=4$，$∠ BAD$的平分线与$BC$的延长线相交于点$E$，与$DC$交于点$F$，且$F$为边$DC$的中点，$DG⊥ AE$，垂足为$G$，若$DG=1$，则$AE$的长为()

A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.4
D.8

7.B

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD// BC$，$AB=CD=4$。
∵$F$为$DC$中点，
∴$DF=FC=2$。
∵$AE$平分$∠ BAD$，
∴$∠ DAF=∠ BAF$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ BAF=∠ DFA$，
∴$∠ DAF=∠ DFA$，
∴$AD=DF=2$。
在$Rt△ ADG$中，$DG⊥ AE$，$DG=1$，
∴$AG=\sqrt{AD^2-DG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$AF=2AG=2\sqrt{3}$（等腰三角形三线合一）。
∵$AD// BC$，
∴$△ ADF∼△ ECF$，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{DF}{FC}=1$，
∴$AF=EF$，
∴$AE=AF+EF=2AF=4\sqrt{3}$。
答案：$4\sqrt{3}$

8. 已知四边形$ABCD$是平行四边形。
(1) 若$□ ABCD$的周长是$44\ cm$，$AB$比$BC$短$2\ cm$，则$AB=CD=$$cm$；
(2) 若$△ ABC$的周长是$8\ cm$，$□ ABCD$的周长是$10\ cm$，则$AC=$$cm$；
(3) 若一个角的平分线把一条边分成长是$4\ cm$和$5\ cm$的两条线段，则$□ ABCD$的周长是；
(4) 若$□ ABCD$的周长是$32\ cm$，$BC=\frac{3}{5}AB$，则$AB=\_\_\_\_\_\_cm$，$BC=\_\_\_\_\_\_cm$。

8.(1)10　(2)3　(3)26cm或28cm　(4)10 6

(4)设$AB = x\ \mathrm{cm}$，则$BC=\frac{3}{5}x\ \mathrm{cm}$。
因为平行四边形的对边相等，所以周长$=2(AB + BC)=32$，即$2(x+\frac{3}{5}x)=32$。
$2×\frac{8}{5}x=32$，$\frac{16}{5}x=32$，$x = 32×\frac{5}{16}=10$。
则$BC=\frac{3}{5}×10 = 6\ \mathrm{cm}$。
10；6

9. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=BD$，点$E$在$BD$上，$DE=CE$。如果$∠ A=70^{\circ}$，那么$∠ ECB=$。

9.30°

解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$∠ A=∠ BCD=70^{\circ}$，$AB=CD$。
∵$AB=BD$，
∴$BD=CD$，$△ BCD$是等腰三角形，
∴$∠ DBC=∠ BCD=70^{\circ}$，
∴$∠ BDC=180^{\circ}-2×70^{\circ}=40^{\circ}$。
∵$DE=CE$，
∴$△ CDE$是等腰三角形，$∠ DCE=∠ BDC=40^{\circ}$，
∴$∠ ECB=∠ BCD-∠ DCE=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$。
$30^{\circ}$

10. 如图，$□ ABCD$与$□ DCFE$的周长相等，且$∠ BAD=60^{\circ}$，$∠ F=110^{\circ}$，则$∠ DAE$的度数为。

10.25°

解：
∵四边形$ABCD$和四边形$DCFE$是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AD=BC$，$DC=EF$，$DE=CF$，
$∠ BAD = ∠ BCD = 60°$，$∠ F = ∠ CDE = 110°$。
∵$□ ABCD$与$□ DCFE$周长相等，
∴$AD + DC = DE + DC$，即$AD = DE$，
∴$△ ADE$是等腰三角形，$∠ DAE = ∠ DEA$。
∵$AB // CD$，$AD // BC$，
∴$∠ ADC = 180° - ∠ BAD = 120°$。
∵$∠ ADC + ∠ CDE + ∠ ADE = 360°$，
∴$∠ ADE = 360° - 120° - 110° = 130°$。
在$△ ADE$中，$∠ DAE = \frac{180° - 130°}{2} = 25°$。
$25°$

1. 如图，在$□ ABCD$中，$CE$平分$∠ BCD$，交$AB$于点$E$，$EA=3$，$EB=5$，$ED=4$，则$CE$的长是()

A.$5\sqrt{2}$
B.$6\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$5\sqrt{5}$

1.C

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AD=BC$，$AB=CD$，
∵$CE$平分$∠ BCD$，
∴$∠ DCE=∠ BCE$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ DCE=∠ BEC$，
∴$∠ BCE=∠ BEC$，
∴$BC=BE=5$，
∴$AD=5$，
∵$EA=3$，$ED=4$，
∴$EA^2+ED^2=3^2+4^2=25=AD^2$，
∴$∠ AED=90°$，
∴$∠ BED=180°-∠ AED=90°$，
∵$AB=EA+EB=3+5=8$，
∴$CD=AB=8$，
在$Rt△ BED$中，$BD=\sqrt{BE^2+ED^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$，
在$Rt△ CED$中，$CE=\sqrt{CD^2+ED^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
答案：$4\sqrt{5}$

2. 如图，$△ ABC$的面积是$16$，$D$是边$BC$上一点，且$BD=\frac{1}{4}BC$，$G$是$AB$上一点，点$H$在$△ ABC$的内部，且四边形$BDHG$是平行四边形，则图中阴影部分的面积是()

A.3
B.4
C.5
D.6

2.B

证明：设$BC=4a$，则$BD=a$，$DC=3a$。设$△ ABC$的高为$h$，则$\frac{1}{2}×4a× h=16$，得$ah=8$。
因为四边形$BDHG$是平行四边形，所以$GH// BD$，$GH=BD=a$，且$G$到$BC$的距离等于$H$到$AC$的距离（设为$k$）。
$△ AGH$的底$GH=a$，高为$h - k$；$△ CHG$的底$GH=a$，高为$k$。
阴影面积$S_{△ AGH}+S_{△ CHG}=\frac{1}{2}× a×(h - k)+\frac{1}{2}× a× k=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}×8=4$。
答案：B