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1. 已知一组样本数据分别为 31，6，12，19，17，16，11，则该组样本数据的()
A.中位数为 17
B.第三四分位数为 17
C.平均数为 15.5
D.方差为$\frac{376}{7}$
A.中位数为 17
B.第三四分位数为 17
C.平均数为 15.5
D.方差为$\frac{376}{7}$
答案
D
解析
将数据31，6，12，19，17，16，11由小到大重新排列为6，11，12，16，17，19，31，共$n = 7$个数据，
中位数是将数据集从小到大排序后，位于中间的数，这组数据的中位数为$16$，A选项错误，
第三四分位数是将数据集由小到大排序后，割开下$50\%$数据与上$50\%$数据位置的值，计算位置在$ (7 + 1) × \frac{3}{4} = 6$，所以第三四分位数为第6个数据，即19，B选项错误，
平均数$\bar{x} = \frac{1}{7} × (6 + 11 + 12 + 16 + 17 + 19 + 31) = \frac{1}{7} × 112 = 16$，C选项错误，
方差$s^{2} = \frac{1}{7} × \lbrack(16 - 6)^{2} + (16 - 11)^{2} + (16 - 12)^{2} + (16 - 16)^{2} + (16 - 17)^{2} + (16 - 19)^{2} + (16 - 31)^{2}\rbrack = \frac{376}{7}$，D选项正确。
中位数是将数据集从小到大排序后，位于中间的数，这组数据的中位数为$16$，A选项错误，
第三四分位数是将数据集由小到大排序后，割开下$50\%$数据与上$50\%$数据位置的值，计算位置在$ (7 + 1) × \frac{3}{4} = 6$，所以第三四分位数为第6个数据，即19，B选项错误，
平均数$\bar{x} = \frac{1}{7} × (6 + 11 + 12 + 16 + 17 + 19 + 31) = \frac{1}{7} × 112 = 16$，C选项错误，
方差$s^{2} = \frac{1}{7} × \lbrack(16 - 6)^{2} + (16 - 11)^{2} + (16 - 12)^{2} + (16 - 16)^{2} + (16 - 17)^{2} + (16 - 19)^{2} + (16 - 31)^{2}\rbrack = \frac{376}{7}$，D选项正确。
2. 有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是()
A.这组数据的第一四分位数是 4
B.这组数据的中位数是 10
C.这组数据的第三四分位数是 15
D.被墨水污染的数据中一个数是 3，另一个数可能是 13
A.这组数据的第一四分位数是 4
B.这组数据的中位数是 10
C.这组数据的第三四分位数是 15
D.被墨水污染的数据中一个数是 3，另一个数可能是 13
答案
B
解析
将已知数据排序：4,4,4,7,10,11,15,15,17,18，加入两个污染数据后共12个数，排序后为$x_1≤ x_2≤···≤ x_{12}$。
A选项：第一四分位数（Q1）位置为$(12+1)/4=3.25$，即第3位与第4位的加权平均。已知有3个4，若污染数据不小于4，则前3位为4,4,4，第4位≥4，Q1=4，正确。
B选项：中位数（Q2）位置为$(12+1)/2=6.5$，即第6位与第7位的平均。假设污染数据为3和13，排序后为3,4,4,4,7,10,11,13,15,15,17,18，中位数=(10+11)/2=10.5≠10；若污染数据为10和10，中位数=(10+10)/2=10，但并非所有情况中位数都是10，B错误。
C选项：第三四分位数（Q3）位置为$3×(12+1)/4=9.75$，第9位与第10位均为15，Q3=15，正确。
D选项：若污染数据为3和13，排序后满足Q1=4、Q3=15，可能成立，正确。
A选项：第一四分位数（Q1）位置为$(12+1)/4=3.25$，即第3位与第4位的加权平均。已知有3个4，若污染数据不小于4，则前3位为4,4,4，第4位≥4，Q1=4，正确。
B选项：中位数（Q2）位置为$(12+1)/2=6.5$，即第6位与第7位的平均。假设污染数据为3和13，排序后为3,4,4,4,7,10,11,13,15,15,17,18，中位数=(10+11)/2=10.5≠10；若污染数据为10和10，中位数=(10+10)/2=10，但并非所有情况中位数都是10，B错误。
C选项：第三四分位数（Q3）位置为$3×(12+1)/4=9.75$，第9位与第10位均为15，Q3=15，正确。
D选项：若污染数据为3和13，排序后满足Q1=4、Q3=15，可能成立，正确。
①在此时间段内，济南每天的最高温度的第一四分位数为 31℃；②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数；③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度；④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于 35℃；
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 某校选拔 14 名学生参加市里的运动会，测量这 14 名学生心率的统计结果如下表所示：
则这组数据的第一四分位数为.
5. 甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95.
(1)求甲组数据的四分位数$Q_1$，$Q_2$，$Q_3$；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)根据箱线图和四分位数的相关知识，谈谈你对两组成绩的看法.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 某校选拔 14 名学生参加市里的运动会，测量这 14 名学生心率的统计结果如下表所示：
则这组数据的第一四分位数为.
5. 甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95.
(1)求甲组数据的四分位数$Q_1$，$Q_2$，$Q_3$；
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图；
(3)根据箱线图和四分位数的相关知识，谈谈你对两组成绩的看法.
答案
3.
①对，济南温度数据：$25,29,29,31,31,33,34,35$，
第一四分位数：$Q_1 = 31° C$，
对，
②济南中位数：$(31 + 31) ÷ 2 = 31° C$，
西安中位数：$(33 + 35) ÷ 2 = 34° C$，
济南中位数小于西安中位数，
对，
③错，西安温度：$33,33,35,35,35,35,37,41$，
济南温度：$25,29,29,31,31,33,34,35$，
西安温度不是每天高于济南，
④对，西安温度不低于$35° C$的天数为5天，超过一半（4天），
对，
综上，4个对中有①②④对，
故答案为：B.2（②和④正确）。
4.数据排序：
$60, 68, 68, 68, 70, 70, 70, 70, 73, 73, 73, 73, 80, 80$，
$n = 14$，
第一四分位数位置：
$\frac{14 + 1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$，
第3.75个数对应第4个数：
68，
故答案为：68。
5.(1)甲组数据排序：
$60, 70, 70, 80, 89, 91, 92, 96, 98, 100$，
$n = 10$，
$Q_1$位置：
$\frac{10 + 1}{4} = 2.75$，
$Q_1 = 70 + 0.75 × (80 - 70) = 70 + 7.5 = 77.5$，
$Q_2$（中位数）位置：
$\frac{10 + 1}{2} = 5.5$，
$Q_2 = \frac{89 + 91}{2} = 90$，
$Q_3$位置：
$\frac{3(10 + 1)}{4} = 8.25$，
$Q_3 = 96 + 0.25 × (98 - 96) = 96 + 0.5 = 96.5$，
综上：$Q_1 = 77.5$，$Q_2 = 90$，$Q_3 = 96.5$。
(2)甲组箱线图：
最小值：60，
$Q_1$：77.5，
$Q_2$：90，
$Q_3$：96.5，
最大值：100，
(3)甲组成绩范围更广，乙组成绩更集中，
甲组中位数（$Q_2$）为90，乙组中位数约为89，
甲组成绩差异较大，乙组成绩较为稳定。
①对，济南温度数据：$25,29,29,31,31,33,34,35$，
第一四分位数：$Q_1 = 31° C$，
对，
②济南中位数：$(31 + 31) ÷ 2 = 31° C$，
西安中位数：$(33 + 35) ÷ 2 = 34° C$，
济南中位数小于西安中位数，
对，
③错，西安温度：$33,33,35,35,35,35,37,41$，
济南温度：$25,29,29,31,31,33,34,35$，
西安温度不是每天高于济南，
④对，西安温度不低于$35° C$的天数为5天，超过一半（4天），
对，
综上，4个对中有①②④对，
故答案为：B.2（②和④正确）。
4.数据排序：
$60, 68, 68, 68, 70, 70, 70, 70, 73, 73, 73, 73, 80, 80$，
$n = 14$，
第一四分位数位置：
$\frac{14 + 1}{4} = \frac{15}{4} = 3.75$，
第3.75个数对应第4个数：
68，
故答案为：68。
5.(1)甲组数据排序：
$60, 70, 70, 80, 89, 91, 92, 96, 98, 100$，
$n = 10$，
$Q_1$位置：
$\frac{10 + 1}{4} = 2.75$，
$Q_1 = 70 + 0.75 × (80 - 70) = 70 + 7.5 = 77.5$，
$Q_2$（中位数）位置：
$\frac{10 + 1}{2} = 5.5$，
$Q_2 = \frac{89 + 91}{2} = 90$，
$Q_3$位置：
$\frac{3(10 + 1)}{4} = 8.25$，
$Q_3 = 96 + 0.25 × (98 - 96) = 96 + 0.5 = 96.5$，
综上：$Q_1 = 77.5$，$Q_2 = 90$，$Q_3 = 96.5$。
(2)甲组箱线图：
最小值：60，
$Q_1$：77.5，
$Q_2$：90，
$Q_3$：96.5，
最大值：100，
(3)甲组成绩范围更广，乙组成绩更集中，
甲组中位数（$Q_2$）为90，乙组中位数约为89，
甲组成绩差异较大，乙组成绩较为稳定。
