7. 已知点$A(4, 0)$及在第一象限的动点$P(x, y)$，且$x + y = 8$.若$△ OPA$的面积为$S$，则$S$关于$x$的函数关系式为，$x$的取值范围是.

7. S = -2x + 16 0 ＜ x ＜ 8

【解析】
已知点$A(4,0)$，则$OA = 4$。
因为点$P(x,y)$在第一象限，且$x + y = 8$，所以$y = 8 - x$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$△ OPA$，以$OA$为底，$P$点纵坐标的绝对值为高（因为$P$在第一象限，纵坐标为正），则$S=\frac{1}{2}× OA× y$。
把$OA = 4$，$y = 8 - x$代入可得：$S=\frac{1}{2}×4×(8 - x)=2×(8 - x)=16 - 2x$，即$S=-2x + 16$。
又因为点$P(x,y)$在第一象限，所以$x＞0$，$y＞0$，由$y = 8 - x＞0$，得$x＜8$，所以$x$的取值范围是$0＜ x＜8$。
【答案】
$S=-2x + 16$；$0＜ x＜8$
【知识点】
三角形面积公式、一次函数关系式、不等式求解
【点评】
本题考查了三角形面积公式与一次函数的结合，以及根据点所在象限确定自变量取值范围，需要学生对相关知识有清晰的理解和运用能力。
【难度系数】
0.5

8. 如图，在平面直角坐标系中，线段$AB$的端点为$A(1, 0)$，$B(5, 8)$.
(1)直线$AB$的函数表达式为.
(2)某同学设计了一个动画：在函数$y = -2x + b$中，输入$b$($b ＞ 0$)的值，得到直线$CD$，其中点$C$在$x$轴上，点$D$在$y$轴上.当直线$CD$与线段$AB$有交点时，直线$CD$就会发红光，则此时输入的$b$的取值范围是.

8. （1）y = 2x - 2 （2）2 ≤ b ≤ 18

【解析】
（1）设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + c$，将$A(1,0)$，$B(5,8)$代入可得$\begin{cases}k + c = 0\\5k + c = 8\end{cases}$，
用$5k + c = 8$减去$k + c = 0$得：$4k = 8$，解得$k = 2$，
把$k = 2$代入$k + c = 0$得：$2 + c = 0$，解得$c = - 2$，
所以直线$AB$的函数表达式为$y = 2x - 2$。
（2）对于$y = - 2x + b$，令$x = 0$，则$y = b$，所以$D(0,b)$；令$y = 0$，则$0 = - 2x + b$，解得$x=\frac{b}{2}$，所以$C(\frac{b}{2},0)$。
当直线$CD$经过点$A(1,0)$时，把$A(1,0)$代入$y = - 2x + b$得：$0 = - 2×1 + b$，解得$b = 2$；
当直线$CD$经过点$B(5,8)$时，把$B(5,8)$代入$y = - 2x + b$得：$8 = - 2×5 + b$，解得$b = 18$。
因为直线$CD$与线段$AB$有交点，所以$2≤ b≤18$。
【答案】
（1）$y = 2x - 2$；（2）$2≤ b≤18$
【知识点】
一次函数表达式求解、一次函数图象性质、直线交点问题
【点评】
本题考查一次函数相关知识，（1）通过待定系数法求解直线表达式，（2）通过直线过线段端点求参数范围，考查学生对一次函数的理解与运用。
【难度系数】
0.5

9. 据医学研究，使用某种抗生素治疗心肌炎时，人体内每毫升血液中的含药量不少于$4 \ μ g$时，治疗有效.如果某患者按规定剂量服用这种抗生素，服用后每毫升血液中的含药量$y$($μ g$)与服用后的时间$t$($h$)之间的函数关系如图所示.
(1)如果上午$8$时服用该药物，到时该药物的浓度达到最大值$μ g/mL$.
(2)根据图象，求出从服用药物起到药物浓度最高时$y$与$t$之间的函数解析式及自变量取值范围是.
(3)如果上午$8$时服用该药物，从几时该药物开始有效，有效时间一共是几个小时？

9. 解：（1）12；8。（2）y = 2t(0 ＜ t ＜ 4)。
（3）当y = 4时，2t = 4，解得t = 2。
∵8 + 2 = 10，
∴从上午10时该药物开始有效，当4 ＜ t ＜ 10时，利用待定系数法设一次函数为y = kx + b，过点(4,8)和(10,0)，$\begin{cases}4k + b = 8\\10k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{3}\\b = \frac{40}{3}\end{cases}$，$y = -\frac{4}{3}x + \frac{40}{3}$。当y = 4时，解得x = 7。服药7h后药物有效时间结束，7 - 2 = 5，
∴有效时间一共是5h。

10. (2025·西宁)在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(4, 0)$，点$P$在过原点的直线$l$上，且$AP = OP = 4$，则直线$l$的解析式是.

10. $y = \sqrt{3}x$或$y = -\sqrt{3}x$

【解析】
因为$AP = OP = 4$，$OA = 4$，所以$△ AOP$是等边三角形。
过点$P$作$PH⊥ x$轴于点$H$，则$OH = \dfrac{1}{2}OA = 2$。
根据勾股定理可得$PH=\sqrt{OP^{2}-OH^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。
当点$P$在第一象限时，$P(2,2\sqrt{3})$，设直线$l$的解析式为$y = kx$，把$P(2,2\sqrt{3})$代入得$2\sqrt{3}=2k$，解得$k = \sqrt{3}$，此时直线$l$的解析式为$y=\sqrt{3}x$。
当点$P$在第四象限时，$P(2,-2\sqrt{3})$，设直线$l$的解析式为$y = kx$，把$P(2,-2\sqrt{3})$代入得$-2\sqrt{3}=2k$，解得$k = -\sqrt{3}$，此时直线$l$的解析式为$y = -\sqrt{3}x$。
【答案】
$y = \sqrt{3}x$或$y = -\sqrt{3}x$
【知识点】
等边三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题通过利用等边三角形的性质和勾股定理求出点$P$的坐标，再用待定系数法求出直线$l$的解析式，综合考查了多个知识点。
【难度系数】
0.3

11. （2023·温州）如图，在平面直角坐标系中，点$A(2, m)$在直线$y = 2x - \frac{5}{2}$上，过点$A$的直线交$y$轴于点$B(0, 3)$.
（1）求$m$的值和直线$AB$的函数表达式.
（2）若点$P(t, y_1)$在线段$AB$上，点$Q(t - 1, y_2)$在直线$y = 2x - \frac{5}{2}$上，求$y_1 - y_2$的最大值.

11. 解：（1）把点A(2,m)代入$y = 2x - \frac{5}{2}$中，得$m = \frac{3}{2}$。设直线AB的函数表达式为y = kx + b，把$A(2,\frac{3}{2})$，B(0,3)代入得$\begin{cases}2k + b = \frac{3}{2}\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{4}\\b = 3\end{cases}$，
∴直线AB的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$。
（2）
∵点P(t,y₁)在线段AB上，
∴$y_1 = -\frac{3}{4}t + 3(0 ≤ t ≤ 2)$。
∵点Q(t - 1,y₂)在直线$y = 2x - \frac{5}{2}$上，
∴$y_2 = 2(t - 1) - \frac{5}{2} = 2t - \frac{9}{2}$，
∴$y_1 - y_2 = -\frac{3}{4}t + 3 - (2t - \frac{9}{2}) = -\frac{11}{4}t + \frac{15}{2}$。
∵$-\frac{11}{4} ＜ 0$，
∴y₁ - y₂随t的增大而减小，
∴当t = 0，y₁ - y₂的最大值为$\frac{15}{2}$。