1. 如图，长方形ABCD中，$AB = 3$，$AD = 1$，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M为()

A.2
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{10}-1$
D.$\sqrt{5}$

1. C

【解析】
在长方形$ABCD$中，$∠ ABC = 90°$。
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$，已知$AB = 3$，$BC = AD = 1$，则$AC=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}$。
因为以点$A$为圆心，$AC$为半径作弧交数轴正半轴于点$M$，所以$AM = AC=\sqrt{10}$。
又因为点$A$表示的数是$-1$，设点$M$表示的数是$x$，则$x-(-1)=\sqrt{10}$，即$x=\sqrt{10}-1$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、数轴、圆的性质
【点评】
本题考查勾股定理在长方形中的应用以及数轴上点与距离的关系，通过勾股定理求出对角线长度，再结合圆的性质和数轴特点确定点$M$表示的数。
【难度系数】
0.3

2. 如图，$∠ ACB = ∠ ABD = 90°$，$CA = CB$，$∠ DAB = 30°$，$AD = 8$，则$AC =$.

2. $2\sqrt{6}$

【解析】
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD = 90°$，$∠ DAB = 30°$，$AD = 8$。
根据直角三角形中$30°$所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD=\frac{1}{2}AD = 4$。
再根据勾股定理$AB^{2}=AD^{2}-BD^{2}$，则$AB=\sqrt{AD^{2}-BD^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=\sqrt{64 - 16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
因为$∠ ACB = 90°$，$CA = CB$，设$AC = CB = x$。
由勾股定理$AC^{2}+CB^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+x^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$，$2x^{2}=48$，$x^{2}=24$，解得$x = 2\sqrt{6}$，所以$AC = 2\sqrt{6}$。
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
直角三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查了直角三角形的多个性质，先利用含$30°$角的直角三角形性质求出一边，再通过勾股定理求出另一边，最后利用等腰直角三角形的勾股定理关系求解，考查学生对不同直角三角形性质的运用能力。
【难度系数】
0.3

3. 如图，$△ ABC$的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，$BD⊥ AC$于点D，则BD的长为.

3. 3

【解析】
根据勾股定理求出$AC$的长，再根据三角形面积公式求出$BD$的长。
- 步骤一：求$AC$的长
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$。
- 步骤二：求$△ ABC$的面积
$△ ABC$的面积可以用$\frac{1}{2}×$底$×$高来计算，以$BC$为底，$BC = 5$，高为$3$，则${S}_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 5× 3=\frac{15}{2}$。
- 步骤三：求$BD$的长
因为$BD⊥ AC$，所以$△ ABC$的面积还可以表示为$\frac{1}{2}× AC× BD$，即$\frac{1}{2}× 5× BD=\frac{15}{2}$，解得$BD = 3$。
【答案】
$3$
【知识点】
勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题通过勾股定理和三角形面积公式求解线段长度，考查了对基本定理和公式的运用能力。
【难度系数】
$0.3$

4. 如图，在数轴上的点A，B表示的数分别为0和2，$BC⊥ AB$于点B，且$BC = 1$，连接AC，在AC上截取$CD = BC$，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是()

A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}+1$
C.2
D.$\sqrt{5}-1$

4. D

【解析】
在$Rt△ ABC$中，$AB = 2$，$BC = 1$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。
因为$CD = BC = 1$，所以$AD = AC - CD=\sqrt{5}-1$。
又因为$AE = AD$，所以点$E$表示的实数是$\sqrt{5}-1$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、线段的计算、数轴
【点评】
本题通过勾股定理求出线段$AC$的长度，再结合线段的关系求出$AD$的长度，进而得到点$E$表示的实数，考查了对勾股定理等知识的运用。
【难度系数】
0.6

5. 如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数m和$m + 1$，以表示数m的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，B，设点A，B表示的数分别为a，b，则以下说法不正确的是()
A. $a + b$的值随着m的变化而变化
B. 线段AB的长始终不变
C. $a - b$一定是无理数
D. $△ ABC$的面积随着m的变化而变化

5. D

【解析】
设正方形边长为$1$，则对角线长为$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。
因为以$M$（表示数$m$）为圆心，对角线为半径画弧，所以$MA = MB=\sqrt{2}$。
则$a=m - \sqrt{2}$，$b=m+\sqrt{2}$。
- $a + b=(m - \sqrt{2})+(m+\sqrt{2}) = 2m$，$a + b$的值随着$m$的变化而变化，A选项正确。
- $AB=b - a=(m+\sqrt{2})-(m - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$，线段$AB$的长始终不变，B选项正确。
- $a - b=(m - \sqrt{2})-(m+\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$，$-2\sqrt{2}$是无理数，C选项正确。
- 由图可知$△ ABC$的高为正方形边长$1$，底$AB = 2\sqrt{2}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$，$△ ABC$的面积不随着$m$的变化而变化，D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、数轴与实数的关系
【点评】
本题综合考查了正方形性质、勾股定理以及数轴相关知识，需要对各知识点有清晰理解并能灵活运用。
【难度系数】
0.3

6. (2025·云城区一模)如图，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ BAO = 90°$，$AB = 1$，点A恰好落在数轴上表示-2的点上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是()

A.$-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

6. A

【解析】
在$Rt△ AOB$中，$∠ BAO = 90°$，$AB = 1$，$OA = 2$。
根据勾股定理$OB=\sqrt{AB^{2}+OA^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{1 + 4}=\sqrt{5}$。
因为以原点$O$为圆心，$OB$的长为半径画弧交数轴于点$P$，所以$OP = OB=\sqrt{5}$。
又因为点$P$落在点$A$的左侧，所以点$P$所表示的数是$-\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、数轴与实数的关系
【点评】
本题考查勾股定理和数轴与实数的关系，先利用勾股定理求出$OB$的长度，再根据点$P$的位置确定其表示的数。
【难度系数】
0.6