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12. 已知$△ ABC$的三边长分别为$1$，$k$，$3$，则化简$\vert 9 - 2k\vert-\sqrt{4k^{2} - 12k + 9}$的结果是(
A.$12 - 4k$
B.$6$
C.$-6$
D.$4k - 12$
A
)A.$12 - 4k$
B.$6$
C.$-6$
D.$4k - 12$
答案
12. A
13. 计算：$\sqrt{a + 4}-\sqrt{9 - 2a}+\sqrt{1 - 3a}+\sqrt{-a^{2}} =$
0
.答案
13. 0
14. 在实数范围内进行因式分解：
(1)$x^{2} - 7$；
(2)$x^{4} - 9$.
(1)$x^{2} - 7$；
(2)$x^{4} - 9$.
答案
14. 解: (1)$ x^2 - 7 = x^2 - (\sqrt{7})^2 = (x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7}) $.
(2)$ x^4 - 9 = (x^2 + 3)(x^2 - 3) = (x^2 + 3)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) $.
(2)$ x^4 - 9 = (x^2 + 3)(x^2 - 3) = (x^2 + 3)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) $.
15. 阅读下面的文字后，解答下列问题：
小明和小芳解答题目“先化简，再求值：$a + \sqrt{1 - 2a + a^{2}}$，其中$a = 9$”时，得出了不同的答案.
小明的解答：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + (1 - a) = 1$. 当$a = 9$时，原式$= 1$.
小芳的解答：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + \vert 1 - a\vert$. 当$a = 9$时，原式$= 9 + \vert 1 - 9\vert = 9 + 8 = 17$.
(1)
(2)说明错误的原因.
小明和小芳解答题目“先化简，再求值：$a + \sqrt{1 - 2a + a^{2}}$，其中$a = 9$”时，得出了不同的答案.
小明的解答：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + (1 - a) = 1$. 当$a = 9$时，原式$= 1$.
小芳的解答：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + \vert 1 - a\vert$. 当$a = 9$时，原式$= 9 + \vert 1 - 9\vert = 9 + 8 = 17$.
(1)
小明
的解答是错误的；(2)说明错误的原因.
答案
15. 解: (1)小明
(2)$ \because $当$ a = 9 $时，$ 1 - a ＜ 0 $，
$ \therefore \sqrt{(1 - a)^2} = a - 1 $.
(2)$ \because $当$ a = 9 $时，$ 1 - a ＜ 0 $，
$ \therefore \sqrt{(1 - a)^2} = a - 1 $.
16. 已知直角三角形的两边的长$x$，$y$满足$\vert x^{2} - 4\vert+\sqrt{y^{2} - 2y + 1} = 0$，求第三边的长.
答案
16. 解: $ \because |x^2 - 4| + \sqrt{y^2 - 2y + 1} = 0 $，
$ \therefore |x^2 - 4| = 0 $，$ \sqrt{y^2 - 2y + 1} = 0 $，
解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = -2 $(不合题意，舍去)，$ y = 1 $，
当2是直角边时，第三边的长$ = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $，
当2是斜边长时，第三边的长$ = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} $，
$ \therefore |x^2 - 4| = 0 $，$ \sqrt{y^2 - 2y + 1} = 0 $，
解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = -2 $(不合题意，舍去)，$ y = 1 $，
当2是直角边时，第三边的长$ = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} $，
当2是斜边长时，第三边的长$ = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} $，
17. 阅读材料：
数学上有一种根号内还带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.
例如：
$\begin{aligned}\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}&=\sqrt{3 + 2× 1×\sqrt{2}}\\&=\sqrt{1^{2} + 2× 1×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2}}\\&=\sqrt{(1 + \sqrt{2})^{2}} = 1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} + 1.\end{aligned}$
解决问题：
(1)模仿上例的过程填空.
$\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{14 + 2× 3×\sqrt{5}} =\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_=$
(2)根据上述思路，试将下列各式化简：
①$\sqrt{30 - 10\sqrt{5}}$；
②$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$.
数学上有一种根号内还带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.
例如：
$\begin{aligned}\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}&=\sqrt{3 + 2× 1×\sqrt{2}}\\&=\sqrt{1^{2} + 2× 1×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2}}\\&=\sqrt{(1 + \sqrt{2})^{2}} = 1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} + 1.\end{aligned}$
解决问题：
(1)模仿上例的过程填空.
$\sqrt{14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{14 + 2× 3×\sqrt{5}} =\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_=$
$\sqrt{5} + 3$
.(2)根据上述思路，试将下列各式化简：
①$\sqrt{30 - 10\sqrt{5}}$；
②$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$.
答案
17. 解: (1)$ \sqrt{3^2 + 2 × 3 × \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2} $ $ \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} $ $ 3 + \sqrt{5} $ $ \sqrt{5} + 3 $
(2)①$ \sqrt{30 - 10\sqrt{5}} = \sqrt{30 - 2 × 5 × \sqrt{5}} $
$ = \sqrt{5^2 - 2 × 5 × \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2} $
$ = \sqrt{(5 - \sqrt{5})^2} $
$ = 5 - \sqrt{5} $.
②$ \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} $
$ = \sqrt{4 + 2 × 1 × \sqrt{3}} $
$ = \sqrt{1^2 + 2 × 1 × \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2} $
$ = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = 1 + \sqrt{3} $
$ = \sqrt{3} + 1 $.
(2)①$ \sqrt{30 - 10\sqrt{5}} = \sqrt{30 - 2 × 5 × \sqrt{5}} $
$ = \sqrt{5^2 - 2 × 5 × \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2} $
$ = \sqrt{(5 - \sqrt{5})^2} $
$ = 5 - \sqrt{5} $.
②$ \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} $
$ = \sqrt{4 + 2 × 1 × \sqrt{3}} $
$ = \sqrt{1^2 + 2 × 1 × \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2} $
$ = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2} = 1 + \sqrt{3} $
$ = \sqrt{3} + 1 $.
