8. 如图，在四边形$ABCD$中，$∠ ABC = ∠ ADC = 90°$，$M, N$分别是$AC, BD$的中点，$AC = 12$，$BD = 8$，则$MN$的长是()。


A.$4$
B.$4\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{7}$

C

1. 连接BM、DM；
2. 已知∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得$BM=DM=\frac{1}{2}AC=6$；
3. 因为N是BD中点，BD=8，所以$BN=\frac{1}{2}BD=4$，且由等腰三角形三线合一可知$MN⊥BD$；
4. 在Rt△BMN中，由勾股定理得：$MN=\sqrt{BM^2 - BN^2}=\sqrt{6^2 - 4^2}=2\sqrt{5}$。

9. 如图，在四边形$ABCD$中，$E, F, G, H$分别是$AD, BD, BC, CA$的中点。若四边形$EFGH$是矩形，则四边形$ABCD$需满足的条件是()。

A.$AB = DC$
B.$AC = BD$
C.$AB ⊥ DC$
D.$AC ⊥ BD$

C

1. 根据三角形中位线定理：
E、F是AD、BD中点，故$EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$；
F、G是BD、BC中点，故$FG// CD$，$FG=\frac{1}{2}CD$；
G、H是BC、CA中点，故$GH// AB$，$GH=\frac{1}{2}AB$；
H、E是CA、AD中点，故$HE// CD$，$HE=\frac{1}{2}CD$。
2. 由$EF// GH$，$FG// HE$，可得四边形$EFGH$是平行四边形。
3. 若四边形$EFGH$是矩形，则需邻边垂直，即$EF⊥ FG$。
因为$EF// AB$，$FG// CD$，所以$EF⊥ FG$等价于$AB⊥ CD$，即$AB⊥ DC$。

10. 已知$x + 1 = \sqrt{5}$，则$x^{3} + 3x^{2} - 2x + 1$的值是()。

A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$5$
D.$6$

C

已知$x + 1 = \sqrt{5}$，则$x = \sqrt{5} - 1$，且$(x+1)^3 = (\sqrt{5})^3 = 5\sqrt{5}$。
将原式变形：
$x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 5x = (x+1)^3 - 5x$
代入$(x+1)^3 = 5\sqrt{5}$和$x = \sqrt{5} - 1$：
原式$= 5\sqrt{5} - 5(\sqrt{5} - 1) = 5\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 5 = 5$。

二、填空题
11. 计算$\sqrt{(-3)^{2}}$的结果是。

解：
$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3$

12. 计算$\sqrt{20} - (\sqrt{2} + \sqrt{5})$的结果是。

$\sqrt{5}-\sqrt{2}$

先化简二次根式，$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；去括号得$2\sqrt{5}-\sqrt{2}-\sqrt{5}$；合并同类二次根式，结果为$\sqrt{5}-\sqrt{2}$。

13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为$1$，点$A, B, C, E$都在格点上，以$A$为圆心，以$AB$为半径画弧，交最上方的网格线于点$D$，则$DE$的长是。

√5

连接AD，由题意可知AB=AD=3，AE=2，且∠AED=90°。在Rt△AED中，根据勾股定理可得：DE=√(AD² - AE²)=√(3² - 2²)=√5。

14. 在正方形$ABCD$中，点$E$在直线$BC$上，连接$AE$。若$CE = \sqrt{2}AD$，则$∠ EAD$的大小是。

$22.5°$或$112.5°$

设正方形$ABCD$的边长为$a$，则$AD=BC=AB=a$，$CE=\sqrt{2}a$，分两种情况讨论：
1. 当点$E$在$BC$的延长线上时：
因为$AD// BC$，所以$∠ EAD=∠ AEB$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=a$，$BE=BC+CE=a+\sqrt{2}a$，
$\tan∠ AEB=\frac{AB}{BE}=\frac{a}{a+\sqrt{2}a}=\sqrt{2}-1$，
由$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$，得$∠ AEB=22.5°$，故$∠ EAD=22.5°$。
2. 当点$E$在$CB$的延长线上时：
因为$AD// BC$，所以$∠ EAD+∠ AEB=180°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=a$，$BE=CE-BC=\sqrt{2}a-a=(\sqrt{2}-1)a$，
$\tan∠ BAE=\frac{BE}{AB}=\sqrt{2}-1$，得$∠ BAE=22.5°$，则$∠ AEB=90°-22.5°=67.5°$，
故$∠ EAD=180°-67.5°=112.5°$。
综上，$∠ EAD$的大小为$22.5°$或$112.5°$。

15. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早由三国时期数学家刘徽创建。“将一个几何图形任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一。如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 5$，$AD = 12$，对角线$AC$与$BD$交于点$O$，点$E$为$BC$边上的动点，$EF ⊥ AC$，$EG ⊥ BD$，垂足分别为点$F, G$，则$EF + EG$的值是。

$\frac{60}{13}$

1. 在矩形$ABCD$中，$∠ ABC=90°$，$AB=5$，$BC=AD=12$，由勾股定理得$AC=\sqrt{5^2+12^2}=13$，故$OB=OC=\frac{13}{2}$。
2. 矩形面积为$5×12=60$，因此$S_{△ OBC}=\frac{1}{4}×60=15$。
3. 连接$OE$，$S_{△ OBC}=S_{△ OBE}+S_{△ OEC}$，即$15=\frac{1}{2}× OB× EG + \frac{1}{2}× OC× EF$。
4. 代入$OB=OC=\frac{13}{2}$，得$15=\frac{1}{2}×\frac{13}{2}×(EF+EG)$，解得$EF+EG=\frac{60}{13}$。