10. 如图，在 $ △ABC $ 中，$ ∠A = 60° $，将 $ △ABC $ 沿图中虚线剪去一个角，则 $ ∠1 + ∠2 $ 的度数是().


A.$ 300° $
B.$ 240° $
C.$ 180° $
D.$ 120° $

B

在$△ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°$；剪去$∠A$后形成四边形，四边形内角和为$360°$，即$∠1+∠2+∠B+∠C=360°$，因此$∠1+∠2=360°-(∠B+∠C)=360°-120°=240°$。

11. 一个多边形除一个内角外其余内角的和为 $ 1510° $，则这个多边形对角线的条数是().

A.27
B.35
C.44
D.54

C

1. 设该多边形为$n$边形，未计算的内角为$x$（$0° ＜ x ＜ 180°$），根据多边形内角和公式：
$(n-2)×180° = 1510° + x$
2. 由此可得不等式：$1510° ＜ (n-2)×180° ＜ 1510° + 180° = 1690°$
3. 计算得：$8.38··· ＜ n-2 ＜ 9.38···$，因$n-2$为整数，故$n-2=9$，即$n=11$
4. 根据多边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，代入$n=11$得：$\frac{11×(11-3)}{2}=44$

12. 一个 $ n $ 边形共有 $ n $ 条对角线，将这个 $ n $ 边形截去一个角后，它的边数为.

4或5或6

1. 根据n边形对角线公式，对角线总数为$\frac{n(n-3)}{2}$，由题意列方程：$\frac{n(n-3)}{2}=n$；
2. 解方程：两边乘2得$n(n-3)=2n$，移项整理得$n(n-5)=0$，因n≥3，故n=5，即原多边形为五边形；
3. 分析截角的三种情况：
截线不经过顶点：边数为$5+1=6$；
截线经过一个顶点：边数不变为5；
截线经过两个顶点：边数为$5-1=4$。
综上，截去一个角后它的边数为4或5或6。

13. 某房间的地面由三种正多边形的地砖铺成，且每一个顶点处三种正多边形地砖各有一块.
(1) 设三种正多边形的内角分别为 $ α $，$ β $，$ \gamma $，则 $ α $，$ β $，$ \gamma $ 之间的关系式为.
(2) 设这三种正多边形地砖的边数分别是 $ x $，$ y $，$ z $，求 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} $ 的值.

解：
(1) $α + β + \gamma = 360°$
(2) 由正多边形内角公式，得
$α = \frac{(x-2) × 180°}{x}$，$β = \frac{(y-2) × 180°}{y}$，$\gamma = \frac{(z-2) × 180°}{z}$
将上述式子代入$α + β + \gamma = 360°$，得
$\frac{(x-2) × 180°}{x} + \frac{(y-2) × 180°}{y} + \frac{(z-2) × 180°}{z} = 360°$
两边同时除以$180°$，得
$\frac{x-2}{x} + \frac{y-2}{y} + \frac{z-2}{z} = 2$
拆分化简：
$(1 - \frac{2}{x}) + (1 - \frac{2}{y}) + (1 - \frac{2}{z}) = 2$
$3 - 2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = 2$
移项计算：
$2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = 1$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$