15. (★★)已知点$A(1,0),B(0,2)$，点$P$在$x$轴上，且三角形$PAB$的面积为$5$，则点$P$的坐标是【 】

A.$(-4,0)$
B.$(10,0)$
C.$(10,0)$或$(6,0)$
D.$(-4,0)$或$(6,0)$

D

设点P坐标为(x,0)，则PA=|x-1|。三角形PAB以PA为底，高为点B到x轴距离2。由面积公式得：1/2×|x-1|×2=5，即|x-1|=5。解得x=6或x=-4，故P坐标为(6,0)或(-4,0)。

16. (★★)有甲、乙、丙三人，他们所在的位置不同，三人都以相同的单位长度和方向建立不同的坐标系。根据甲、丙两人的描述，如果以乙为坐标原点，那么甲和丙的位置分别是【 】
甲：“以我为坐标原点，乙的位置是$(4,3)$。”
丙：“以我为坐标原点，甲的位置是$(-7,-5)$。”

A.$(-4,-3),(2,1)$
B.$(-4,-3),(3,2)$
C.$(-3,-4),(2,3)$
D.$(3,4),(-1,-4)$

B

设以乙为坐标原点时，甲的坐标为$(x,y)$，丙的坐标为$(m,n)$。
由甲的描述：以甲为原点，乙的位置是$(4,3)$，则乙相对于甲的坐标为$(4,3)$。因甲相对于乙的坐标为$(x,y)$，故乙相对于甲的坐标为$(-x,-y)$，即$(-x,-y)=(4,3)$，解得$x=-4$，$y=-3$，所以甲的坐标为$(-4,-3)$。
由丙的描述：以丙为原点，甲的位置是$(-7,-5)$，则甲相对于丙的坐标为$(-7,-5)$。因甲相对于乙的坐标为$(-4,-3)$，丙相对于乙的坐标为$(m,n)$，故甲相对于丙的坐标为$(-4 - m,-3 - n)$，即$(-4 - m,-3 - n)=(-7,-5)$。解得$m=3$，$n=2$，所以丙的坐标为$(3,2)$。

17. (★)下列说法正确的是【 】

A.$(3,2)$和$(2,3)$表示同一个点
B.点$(1,0)$在$x$轴的正半轴上
C.点$(-2,1)$在第四象限
D.点$(-3,2)$到$x$轴的距离为$3$

B

A. 平面内，点的位置是一对有序数对，故$(3,2)$和$(2,3)$表示不同位置，错误。
B. $x$轴正半轴上点的纵坐标为$0$，故点$(1,0)$在$x$轴正半轴上，正确。
C. 点$(-2,1)$的横坐标为负，纵坐标为正，属于第二象限，错误。
D. 点到$x$轴的距离为纵坐标的绝对值，故点$(-3,2)$到$x$轴距离为$2$，错误。

18. (★★)在平面直角坐标系$xOy$中，点$A$的坐标是$(-2,-1)$，若$AB// y$轴，且$AB = 9$，则点$B$的坐标是。

设点$B$的坐标为$(x, y)$。
由于$AB // y$轴，根据平行性质，两点的横坐标必须相同，即$x = -2$。
利用两点间的距离公式，由于$AB$与$y$轴平行，所以$AB$的长度等于两点纵坐标之差的绝对值，即
$|y - (-1)| = 9$
$|y + 1| = 9$
解这个绝对值方程，我们得到两个
$y + 1 = 9 \quad \mathrm{或} \quad y + 1 = -9$
$y = 8 \quad \mathrm{或} \quad y = -10$
因此，点$B$的坐标有两个可能，分别是$(-2, 8)$和$(-2, -10)$。

19. (★★)在平面直角坐标系中有一点$M(m - 1,2m + 3)$。
(1)若点$M$到$y$轴的距离为$3$，求点$M$的坐标；
(2)若点$N$的坐标为$(5,-1)$，且$MN// x$轴，求点$M$的坐标；
(3)当点$M$到$x$轴、$y$轴的距离相等时，求点$M$的坐标。

(1)
因为点$M(m - 1,2m + 3)$到$y$轴的距离为$3$，所以$\vert m - 1\vert = 3$。
则$m - 1 = 3$或$m - 1 = -3$。
当$m - 1 = 3$时，$m = 4$，$2m + 3 = 2×4 + 3 = 11$，此时$M(3,11)$；
当$m - 1 = -3$时，$m = -2$，$2m + 3 = 2×(-2)+3 = -1$，此时$M(-3,-1)$。
(2)
因为$MN// x$轴，$M(m - 1,2m + 3)$，$N(5,-1)$，所以$2m + 3 = -1$，解得$m = -2$。
$m - 1 = -2 - 1 = -3$，所以$M(-3,-1)$。
(3)
因为点$M$到$x$轴、$y$轴的距离相等，所以$\vert m - 1\vert=\vert 2m + 3\vert$。
则$m - 1 = 2m + 3$或$m - 1 = -(2m + 3)$。
当$m - 1 = 2m + 3$时，$m = -4$，$m - 1 = -5$，$2m + 3 = -5$，此时$M(-5,-5)$；
当$m - 1 = -(2m + 3)$时，$m - 1 = -2m - 3$，$3m = -2$，$m = -\frac{2}{3}$，$m - 1 = -\frac{5}{3}$，$2m + 3 = \frac{5}{3}$，此时$M(-\frac{5}{3},\frac{5}{3})$。
综上，答案依次为：(1)$M(3,11)$或$M(-3,-1)$；(2)$M(-3,-1)$；(3)$M(-5,-5)$或$M(-\frac{5}{3},\frac{5}{3})$。

20. (★★)如图为一所学校分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为$1$个单位长度的正方形，若教学楼的位置坐标为$A(1,2)$，图书馆的位置坐标为$B(-2,-1)$，解答以下问题：
(1)在图中找到坐标系的原点，并建立平面直角坐标系；
(2)若体育馆的位置坐标为$C(1,-3)$，食堂的位置坐标为$D(2,0)$，请在图中标出体育馆和食堂的位置；
(3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形$ABCD$，求四边形$ABCD$的面积。

(1) 原点在A(1,2)向左1个单位长度且向下2个单位长度处（或B(-2,-1)向右2个单位长度且向上1个单位长度处），建立平面直角坐标系。
(2) 如图所示（标出C(1,-3)和D(2,0)）。
(3) 连接AC，A(1,2)，C(1,-3)，AC=2 - (-3)=5。点B(-2,-1)到AC的距离为1 - (-2)=3，S△ABC=1/2×5×3=7.5；点D(2,0)到AC的距离为2 - 1=1，S△ACD=1/2×5×1=2.5。S四边形ABCD=7.5+2.5=10。
答：10