登录
10. 如图所示,圆柱形容器$A$、$B$静止在水平桌面上,$A$容器中盛有密度为$1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$的水,$B$容器中液体的密度未知。已知$A$、$B$容器内的底面积之比$S_{A}:S_{B}=3:2$,两容器内液面的高度之比$h_{A}:h_{B}=4:3$,液体对两容器底部的压力大小相等。求:
(1)液体对两容器底部的压强之比；
(2)$B$容器中液体的密度。
(1)液体对两容器底部的压强之比；
(2)$B$容器中液体的密度。
答案
(1) 由F=pS，且液体对两容器底部的压力大小相等，即F_A=F_B，已知S_A:S_B=3:2，
则液体对两容器底部的压强之比：$\dfrac{p_A}{p_B}=\dfrac{\dfrac{F_A}{S_A}}{\dfrac{F_B}{S_B}}=\dfrac{S_B}{S_A}=\dfrac{2}{3}$
(2) 由$p=\rho gh$得$F=pS=\rho ghS$，因F_A=F_B，
则$\rho_A gh_A S_A=\rho_B gh_B S_B$，
解得$\rho_B=\dfrac{\rho_A h_A S_A}{h_B S_B}=\dfrac{1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}×4×3}{3×2}=2.0×10^3\mathrm{kg/m^3}$
则液体对两容器底部的压强之比：$\dfrac{p_A}{p_B}=\dfrac{\dfrac{F_A}{S_A}}{\dfrac{F_B}{S_B}}=\dfrac{S_B}{S_A}=\dfrac{2}{3}$
(2) 由$p=\rho gh$得$F=pS=\rho ghS$，因F_A=F_B，
则$\rho_A gh_A S_A=\rho_B gh_B S_B$，
解得$\rho_B=\dfrac{\rho_A h_A S_A}{h_B S_B}=\dfrac{1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}×4×3}{3×2}=2.0×10^3\mathrm{kg/m^3}$
解析
【分析】
(1) 要求液体对两容器底部的压强之比，已知液体对容器底部的压力相等，且容器底面积之比已知，根据压强的定义式$p=\frac{F}{S}$，结合压力相等的条件，压强与底面积成反比，由此可求出压强之比。
(2) 对于圆柱形容器，液体对容器底部的压力可通过$F=pS=\rho ghS$来表示。已知液体对两容器底部的压力相等，结合水的密度、液面高度之比、容器底面积之比，代入公式变形即可求出B容器中液体的密度。
【解析】
(1) 已知液体对两容器底部的压力大小相等，即$F_A=F_B$，根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，可得液体对两容器底部的压强之比：
$\dfrac{p_A}{p_B}=\dfrac{\dfrac{F_A}{S_A}}{\dfrac{F_B}{S_B}}=\dfrac{F_A}{F_B}×\dfrac{S_B}{S_A}$
因为$F_A=F_B$，且$S_A:S_B=3:2$，代入得：
$\dfrac{p_A}{p_B}=\dfrac{1}{1}×\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$
(2) 圆柱形容器中，液体对容器底部的压力$F=pS=\rho ghS$，由于$F_A=F_B$，所以：
$\rho_A g h_A S_A=\rho_B g h_B S_B$
整理可得B容器中液体的密度：
$\rho_B=\dfrac{\rho_A h_A S_A}{h_B S_B}$
已知$\rho_A=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，$h_A:h_B=4:3$，$S_A:S_B=3:2$，代入数据：
$\rho_B=\dfrac{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×4×3}{3×2}=2.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【答案】
(1) 液体对两容器底部的压强之比为$\boldsymbol{2:3}$；
(2) B容器中液体的密度为$\boldsymbol{2.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}$。
【知识点】
液体压强公式，压力与压强的关系，比例计算
【点评】
本题考查液体压强与压力的综合计算，关键是灵活运用压强公式$p=\rho gh$和压力与压强的关系$F=pS$，抓住“液体对容器底部压力相等”这一核心条件，结合比例关系进行推导计算，注重公式的变形与比例运算的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要求液体对两容器底部的压强之比，已知液体对容器底部的压力相等，且容器底面积之比已知，根据压强的定义式$p=\frac{F}{S}$，结合压力相等的条件，压强与底面积成反比，由此可求出压强之比。
(2) 对于圆柱形容器，液体对容器底部的压力可通过$F=pS=\rho ghS$来表示。已知液体对两容器底部的压力相等，结合水的密度、液面高度之比、容器底面积之比，代入公式变形即可求出B容器中液体的密度。
【解析】
(1) 已知液体对两容器底部的压力大小相等，即$F_A=F_B$，根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，可得液体对两容器底部的压强之比：
$\dfrac{p_A}{p_B}=\dfrac{\dfrac{F_A}{S_A}}{\dfrac{F_B}{S_B}}=\dfrac{F_A}{F_B}×\dfrac{S_B}{S_A}$
因为$F_A=F_B$，且$S_A:S_B=3:2$，代入得：
$\dfrac{p_A}{p_B}=\dfrac{1}{1}×\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$
(2) 圆柱形容器中，液体对容器底部的压力$F=pS=\rho ghS$，由于$F_A=F_B$，所以：
$\rho_A g h_A S_A=\rho_B g h_B S_B$
整理可得B容器中液体的密度：
$\rho_B=\dfrac{\rho_A h_A S_A}{h_B S_B}$
已知$\rho_A=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，$h_A:h_B=4:3$，$S_A:S_B=3:2$，代入数据：
$\rho_B=\dfrac{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×4×3}{3×2}=2.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
【答案】
(1) 液体对两容器底部的压强之比为$\boldsymbol{2:3}$；
(2) B容器中液体的密度为$\boldsymbol{2.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}}$。
【知识点】
液体压强公式，压力与压强的关系，比例计算
【点评】
本题考查液体压强与压力的综合计算，关键是灵活运用压强公式$p=\rho gh$和压力与压强的关系$F=pS$，抓住“液体对容器底部压力相等”这一核心条件，结合比例关系进行推导计算，注重公式的变形与比例运算的应用。
【难度系数】
0.6
11. 如图所示,水平地面上放着一个上、下两部分均为柱形的薄壁容器,容器重为$6\ \mathrm{N}$,其上、下两部分的横截面面积之比为$1:4$,上、下两部分的高度均为$10\ \mathrm{cm}$。向容器中倒入$2\ \mathrm{kg}$的水后,水的深度为$5\ \mathrm{cm}$。（$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^{3}$,$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$）
(1)水对容器底面的压强是多大?
(2)容器对水平地面的压强是多大?
(3)往容器内加水,水的深度为多少时,水对容器底面的压力与容器对地面的压力相等?
(1)水对容器底面的压强是多大?
(2)容器对水平地面的压强是多大?
(3)往容器内加水,水的深度为多少时,水对容器底面的压力与容器对地面的压力相等?
答案
(1) 容器内水的深度$h=5\mathrm{cm}=0.05\mathrm{m}$
水对容器底面的压强：$p_{水}=\rho_{水}gh=1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}×10\mathrm{N/kg}×0.05\mathrm{m}=500\mathrm{Pa}$
(2) 由$\rho=\dfrac{m}{V}$得，容器内水的体积$V_{水}=\dfrac{m_{水}}{\rho_{水}}=\dfrac{2\mathrm{kg}}{1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}}=2×10^{-3}\mathrm{m^3}$
容器下底面积$S_{下}=\dfrac{V_{水}}{h}=\dfrac{2×10^{-3}\mathrm{m^3}}{0.05\mathrm{m}}=0.04\mathrm{m^2}$
容器内水的重力$G_{水}=m_{水}g=2\mathrm{kg}×10\mathrm{N/kg}=20\mathrm{N}$
容器对水平地面的压力$F=G_{容}+G_{水}=6\mathrm{N}+20\mathrm{N}=26\mathrm{N}$
容器对水平地面的压强$p'=\dfrac{F}{S_{下}}=\dfrac{26\mathrm{N}}{0.04\mathrm{m^2}}=650\mathrm{Pa}$
(3) 容器上部分的横截面积$S_{上}=\dfrac{1}{4}S_{下}=\dfrac{1}{4}×0.04\mathrm{m^2}=0.01\mathrm{m^2}$
设容器内水的深度为h'时，水对容器底面的压力与容器对地面的压力相等，$h_{上}=h_{下}=10\mathrm{cm}=0.1\mathrm{m}$
此时容器内水的体积$V'_{水}=S_{下}h_{下}+S_{上}(h'-h_{下})=0.04\mathrm{m^2}×0.1\mathrm{m}+0.01\mathrm{m^2}×(h'-0.1\mathrm{m})=0.003\mathrm{m^3}+0.01\mathrm{m^2}· h'$
容器内水的重力$G'_{水}=\rho_{水}V'_{水}g=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×(0.003\mathrm{m^3}+0.01\mathrm{m^2}· h')×10\mathrm{N/kg}=30\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}· h'$
容器对地面的压力$F'=G_{容}+G'_{水}=6\mathrm{N}+30\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}· h'=36\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}· h'$
水对容器底面的压力$F_{水}=p'_{水}S_{下}=\rho_{水}gh'S_{下}=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×10\mathrm{N/kg}× h'×0.04\mathrm{m^2}=400\mathrm{N/m}· h'$
由$F'=F_{水}$得：$36\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}· h'=400\mathrm{N/m}· h'$
解得$h'=\dfrac{36\mathrm{N}}{400\mathrm{N/m}-100\mathrm{N/m}}=0.12\mathrm{m}$
水对容器底面的压强：$p_{水}=\rho_{水}gh=1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}×10\mathrm{N/kg}×0.05\mathrm{m}=500\mathrm{Pa}$
(2) 由$\rho=\dfrac{m}{V}$得，容器内水的体积$V_{水}=\dfrac{m_{水}}{\rho_{水}}=\dfrac{2\mathrm{kg}}{1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}}=2×10^{-3}\mathrm{m^3}$
容器下底面积$S_{下}=\dfrac{V_{水}}{h}=\dfrac{2×10^{-3}\mathrm{m^3}}{0.05\mathrm{m}}=0.04\mathrm{m^2}$
容器内水的重力$G_{水}=m_{水}g=2\mathrm{kg}×10\mathrm{N/kg}=20\mathrm{N}$
容器对水平地面的压力$F=G_{容}+G_{水}=6\mathrm{N}+20\mathrm{N}=26\mathrm{N}$
容器对水平地面的压强$p'=\dfrac{F}{S_{下}}=\dfrac{26\mathrm{N}}{0.04\mathrm{m^2}}=650\mathrm{Pa}$
(3) 容器上部分的横截面积$S_{上}=\dfrac{1}{4}S_{下}=\dfrac{1}{4}×0.04\mathrm{m^2}=0.01\mathrm{m^2}$
设容器内水的深度为h'时，水对容器底面的压力与容器对地面的压力相等，$h_{上}=h_{下}=10\mathrm{cm}=0.1\mathrm{m}$
此时容器内水的体积$V'_{水}=S_{下}h_{下}+S_{上}(h'-h_{下})=0.04\mathrm{m^2}×0.1\mathrm{m}+0.01\mathrm{m^2}×(h'-0.1\mathrm{m})=0.003\mathrm{m^3}+0.01\mathrm{m^2}· h'$
容器内水的重力$G'_{水}=\rho_{水}V'_{水}g=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×(0.003\mathrm{m^3}+0.01\mathrm{m^2}· h')×10\mathrm{N/kg}=30\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}· h'$
容器对地面的压力$F'=G_{容}+G'_{水}=6\mathrm{N}+30\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}· h'=36\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}· h'$
水对容器底面的压力$F_{水}=p'_{水}S_{下}=\rho_{水}gh'S_{下}=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×10\mathrm{N/kg}× h'×0.04\mathrm{m^2}=400\mathrm{N/m}· h'$
由$F'=F_{水}$得：$36\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}· h'=400\mathrm{N/m}· h'$
解得$h'=\dfrac{36\mathrm{N}}{400\mathrm{N/m}-100\mathrm{N/m}}=0.12\mathrm{m}$
解析
【分析】
1. 第(1)问：水对容器底面的压强属于液体压强计算，直接运用液体压强公式$p=\rho gh$，只需先将水的深度单位换算为国际单位，再代入已知的水的密度、g值和深度即可求解。
2. 第(2)问：容器对水平地面的压强属于固体压强计算，首先根据水的质量计算出水的重力，容器对地面的压力等于容器重力与水的重力之和；再通过水的体积和深度算出容器下底面积，最后利用固体压强公式$p=\frac{F}{S}$计算压强。
3. 第(3)问：要使水对容器底面的压力与容器对地面的压力相等，先根据上下底面积之比算出上底面积。设此时水的深度为$h'$，判断出此时水已没过容器下部分，分别表示出此时水的重力、容器对地面的压力，以及水对容器底的压力，根据两者压力相等列方程求解。
【解析】
(1) 换算水的深度单位：$h=5\mathrm{cm}=0.05\mathrm{m}$
根据液体压强公式$p_{水}=\rho_{水}gh$，代入数据得：
$p_{水}=1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}×10\mathrm{N/kg}×0.05\mathrm{m}=500\mathrm{Pa}$
(2) 由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{2\mathrm{kg}}{1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}}=2×10^{-3}\mathrm{m^3}$
容器下底面积：
$S_{下}=\frac{V_{水}}{h}=\frac{2×10^{-3}\mathrm{m^3}}{0.05\mathrm{m}}=0.04\mathrm{m^2}$
水的重力：
$G_{水}=m_{水}g=2\mathrm{kg}×10\mathrm{N/kg}=20\mathrm{N}$
容器对水平地面的压力：
$F=G_{容}+G_{水}=6\mathrm{N}+20\mathrm{N}=26\mathrm{N}$
容器对水平地面的压强：
$p'=\frac{F}{S_{下}}=\frac{26\mathrm{N}}{0.04\mathrm{m^2}}=650\mathrm{Pa}$
(3) 容器上部分横截面积：
$S_{上}=\frac{1}{4}S_{下}=\frac{1}{4}×0.04\mathrm{m^2}=0.01\mathrm{m^2}$
设水的深度为$h'$时，水对容器底面的压力与容器对地面的压力相等，已知$h_{上}=h_{下}=10\mathrm{cm}=0.1\mathrm{m}$，此时水已没过下部分，水的体积：
$V'_{水}=S_{下}h_{下}+S_{上}(h'-h_{下})=0.04\mathrm{m^2}×0.1\mathrm{m}+0.01\mathrm{m^2}×(h'-0.1\mathrm{m})=0.003\mathrm{m^3}+0.01\mathrm{m^2}·h'$
水的重力：
$G'_{水}=\rho_{水}V'_{水}g=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×(0.003\mathrm{m^3}+0.01\mathrm{m^2}·h')×10\mathrm{N/kg}=30\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}·h'$
容器对地面的压力：
$F'=G_{容}+G'_{水}=6\mathrm{N}+30\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}·h'=36\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}·h'$
水对容器底面的压力：
$F_{水}=p'_{水}S_{下}=\rho_{水}gh'S_{下}=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×10\mathrm{N/kg}×h'×0.04\mathrm{m^2}=400\mathrm{N/m}·h'$
根据$F'=F_{水}$列方程：
$36\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}·h'=400\mathrm{N/m}·h'$
解得：$h'=\frac{36\mathrm{N}}{400\mathrm{N/m}-100\mathrm{N/m}}=0.12\mathrm{m}$
【答案】
(1) $500\mathrm{Pa}$
(2) $650\mathrm{Pa}$
(3) $0.12\mathrm{m}$
【知识点】
液体压强计算、固体压强计算、压力与重力的关系
【点评】
本题综合考查液体压强与固体压强的计算，核心是明确两类压强的计算逻辑：液体压强先算压强再推导压力，固体压强先算压力再计算压强；第三问需准确分析水的体积与深度的关系，通过建立等量关系求解，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
1. 第(1)问：水对容器底面的压强属于液体压强计算，直接运用液体压强公式$p=\rho gh$，只需先将水的深度单位换算为国际单位，再代入已知的水的密度、g值和深度即可求解。
2. 第(2)问：容器对水平地面的压强属于固体压强计算，首先根据水的质量计算出水的重力，容器对地面的压力等于容器重力与水的重力之和；再通过水的体积和深度算出容器下底面积，最后利用固体压强公式$p=\frac{F}{S}$计算压强。
3. 第(3)问：要使水对容器底面的压力与容器对地面的压力相等，先根据上下底面积之比算出上底面积。设此时水的深度为$h'$，判断出此时水已没过容器下部分，分别表示出此时水的重力、容器对地面的压力，以及水对容器底的压力，根据两者压力相等列方程求解。
【解析】
(1) 换算水的深度单位：$h=5\mathrm{cm}=0.05\mathrm{m}$
根据液体压强公式$p_{水}=\rho_{水}gh$，代入数据得：
$p_{水}=1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}×10\mathrm{N/kg}×0.05\mathrm{m}=500\mathrm{Pa}$
(2) 由密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{2\mathrm{kg}}{1.0×10^3\mathrm{kg/m^3}}=2×10^{-3}\mathrm{m^3}$
容器下底面积：
$S_{下}=\frac{V_{水}}{h}=\frac{2×10^{-3}\mathrm{m^3}}{0.05\mathrm{m}}=0.04\mathrm{m^2}$
水的重力：
$G_{水}=m_{水}g=2\mathrm{kg}×10\mathrm{N/kg}=20\mathrm{N}$
容器对水平地面的压力：
$F=G_{容}+G_{水}=6\mathrm{N}+20\mathrm{N}=26\mathrm{N}$
容器对水平地面的压强：
$p'=\frac{F}{S_{下}}=\frac{26\mathrm{N}}{0.04\mathrm{m^2}}=650\mathrm{Pa}$
(3) 容器上部分横截面积：
$S_{上}=\frac{1}{4}S_{下}=\frac{1}{4}×0.04\mathrm{m^2}=0.01\mathrm{m^2}$
设水的深度为$h'$时，水对容器底面的压力与容器对地面的压力相等，已知$h_{上}=h_{下}=10\mathrm{cm}=0.1\mathrm{m}$，此时水已没过下部分，水的体积：
$V'_{水}=S_{下}h_{下}+S_{上}(h'-h_{下})=0.04\mathrm{m^2}×0.1\mathrm{m}+0.01\mathrm{m^2}×(h'-0.1\mathrm{m})=0.003\mathrm{m^3}+0.01\mathrm{m^2}·h'$
水的重力：
$G'_{水}=\rho_{水}V'_{水}g=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×(0.003\mathrm{m^3}+0.01\mathrm{m^2}·h')×10\mathrm{N/kg}=30\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}·h'$
容器对地面的压力：
$F'=G_{容}+G'_{水}=6\mathrm{N}+30\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}·h'=36\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}·h'$
水对容器底面的压力：
$F_{水}=p'_{水}S_{下}=\rho_{水}gh'S_{下}=1×10^3\mathrm{kg/m^3}×10\mathrm{N/kg}×h'×0.04\mathrm{m^2}=400\mathrm{N/m}·h'$
根据$F'=F_{水}$列方程：
$36\mathrm{N}+100\mathrm{N/m}·h'=400\mathrm{N/m}·h'$
解得：$h'=\frac{36\mathrm{N}}{400\mathrm{N/m}-100\mathrm{N/m}}=0.12\mathrm{m}$
【答案】
(1) $500\mathrm{Pa}$
(2) $650\mathrm{Pa}$
(3) $0.12\mathrm{m}$
【知识点】
液体压强计算、固体压强计算、压力与重力的关系
【点评】
本题综合考查液体压强与固体压强的计算，核心是明确两类压强的计算逻辑：液体压强先算压强再推导压力，固体压强先算压力再计算压强；第三问需准确分析水的体积与深度的关系，通过建立等量关系求解，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
