7. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ E $ 为 $ AB $ 上一点，$ △ ADE $ 和 $ △ BCE $ 都是等边三角形，$ AB $，$ BC $，$ CD $，$ DA $ 的中点分别为 $ P $，$ Q $，$ M $，$ N $，试判断四边形 $ PQMN $ 为怎样的四边形，并证明你的结论.

7. 四边形PQMN为菱形。证明：连接AC，BD。由题意，得PQ为△ABC的中位线。
∴PQ//AC，PQ=$\frac{1}{2}AC$。同理，MN//AC，MN=$\frac{1}{2}AC$。
∴MN≌PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形。
∵△ADE和△BCE都是等边三角形，
∴AE=DE，EC=EB，∠AED=∠BEC，
∴∠AEC=∠DEB。
∴△CAE≌△BDE(SAS)，
∴AC=BD，
∴MN=NP，
∴四边形PQMN为菱形。

8. 如图，$ AC $ 是 $ □ ABCD $ 的一条对角线，过 $ AC $ 的中点 $ O $ 的直线分别交 $ AD $，$ BC $ 于点 $ E $，$ F $.
（1）求证：$ △ AOE ≌ △ COF $；
（2）当 $ EF $ 与 $ AC $ 满足什么条件时，四边形 $ AFCE $ 是菱形？并说明理由.

8. (1) 证明：
∵在□ABCD中，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO。
∵O是AC的中点，
∴AO=CO。又
∵∠EOA=∠FOC。
∴△AOE≌△COF(ASA)。 (2) 解：当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形。理由：由(1)知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，又
∵AO=CO，
∴四边形AFCE是平行四边形。
∴当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形。

1. 下列说法正确的是()

A.对角线相等的平行四边形是菱形
B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.有一个角是直角的平行四边形是菱形

1. B

2. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AD = 3AB $，点 $ G $，$ H $ 分别在 $ AD $，$ BC $ 上，连接 $ BG $，$ DH $，且 $ BG // DH $，当四边形 $ BHDG $ 为菱形时，$ \frac{AG}{AD} $ 的值为()


A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{4}{9} $
D.$ \frac{3}{8} $

2. C

解：设 $ AB = x $，则 $ AD = 3x $，设 $ AG = y $，则 $ GD = AD - AG = 3x - y $。
因为四边形 $ ABCD $ 是矩形，所以 $ AD // BC $，$ AB = CD = x $，$ AD = BC = 3x $，$ ∠ A = 90° $。
因为 $ BG // DH $ 且 $ AD // BC $，所以四边形 $ BHDG $ 是平行四边形。又因为四边形 $ BHDG $ 为菱形，所以 $ BG = GD = 3x - y $。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABG $ 中，由勾股定理得：$ AB^2 + AG^2 = BG^2 $，即 $ x^2 + y^2 = (3x - y)^2 $。
展开得：$ x^2 + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2 $，化简得：$ 8x^2 - 6xy = 0 $，即 $ 2x(4x - 3y) = 0 $。
因为 $ x ≠ 0 $，所以 $ 4x - 3y = 0 $，解得 $ y = \frac{4}{3}x $。
则 $ \frac{AG}{AD} = \frac{y}{3x} = \frac{\frac{4}{3}x}{3x} = \frac{4}{9} $。
答案：$\frac{4}{9}$