1. 对于题目“化简并求值：$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+a^{2}-2}$，其中$a=\frac{1}{5}$”，甲、乙两人解法不同。
甲的解法是$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+a^{2}-2}=\frac{1}{a}+\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}}=\frac{1}{a}+a-\frac{1}{a}=a=\frac{1}{5}$；
乙的解法是$\frac{1}{a}+\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+a^{2}-2}=\frac{1}{a}+\sqrt{(a-\frac{1}{a})^{2}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-a=\frac{2}{a}-a=\frac{49}{5}$。
谁的解法是错误的？为什么？

1. 甲的解法是错误的. $ \because a = \frac{1}{5} $ 时, $ a - \frac{1}{a} ＜ 0 $, $ \therefore \sqrt{(a - \frac{1}{a})^{2}} = \frac{1}{a} - a $.

2. 是否存在这样的整数$x$，使它同时满足下列两个条件：(1) 式子$\sqrt{x - 13}$和$\sqrt{20 - x}$都有意义；(2) $\sqrt{x}$的值仍是整数。如果存在，请求出$x$的值；如果不存在，请说明理由。

2. 存在, $ x = 16 $.

要使$\sqrt{x - 13}$和$\sqrt{20 - x}$有意义，则$\begin{cases}x - 13≥0\\20 - x≥0\end{cases}$，解得$13≤ x≤20$。
因为$\sqrt{x}$的值是整数，所以$x$是完全平方数。在$13≤ x≤20$范围内的完全平方数为$16$，即$x = 16$。
存在，$x = 16$。

3. 已知$x + y = 8$，$xy = 8$，求$y\sqrt{\frac{y}{x}}+x\sqrt{\frac{x}{y}}$的值。

$y\sqrt{\frac{y}{x}} + x\sqrt{\frac{x}{y}}$
$= y · \frac{\sqrt{xy}}{x} + x · \frac{\sqrt{xy}}{y}$
$= \frac{y\sqrt{xy}}{x} + \frac{x\sqrt{xy}}{y}$
$= \sqrt{xy} ( \frac{y}{x} + \frac{x}{y} )$
$= \sqrt{xy} · \frac{y^2 + x^2}{xy}$
$= \frac{\sqrt{xy}(x^2 + y^2)}{xy}$
因为$x + y = 8$，所以$(x + y)^2 = 64$，即$x^2 + 2xy + y^2 = 64$。
又因为$xy = 8$，所以$x^2 + y^2 = 64 - 2xy = 64 - 2×8 = 48$。
将$xy = 8$，$x^2 + y^2 = 48$代入上式：
$\frac{\sqrt{8}×48}{8} = \frac{2\sqrt{2}×48}{8} = 12\sqrt{2}$
$12\sqrt{2}$

$y\sqrt{\frac{y}{x}} + x\sqrt{\frac{x}{y}}$
$= y · \frac{\sqrt{xy}}{x} + x · \frac{\sqrt{xy}}{y}$
$= \frac{y\sqrt{xy}}{x} + \frac{x\sqrt{xy}}{y}$
$= \sqrt{xy} ( \frac{y}{x} + \frac{x}{y} )$
$= \sqrt{xy} · \frac{y^2 + x^2}{xy}$
$= \frac{\sqrt{xy}(x^2 + y^2)}{xy}$
因为$x + y = 8$，所以$(x + y)^2 = 64$，即$x^2 + 2xy + y^2 = 64$。
又因为$xy = 8$，所以$x^2 + y^2 = 64 - 2xy = 64 - 2×8 = 48$。
将$xy = 8$，$x^2 + y^2 = 48$代入上式：
$\frac{\sqrt{8}×48}{8} = \frac{2\sqrt{2}×48}{8} = 12\sqrt{2}$
$12\sqrt{2}$

4. 我们知道，二次根式乘除法有如下性质：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅。
(1) 举些例子比较$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a + b}(a≥0,b≥0)$的大小，并提出猜想；（至少举$3$例，举例要全面哦）
(2) 利用学过的知识证明你的猜想。

4. 解: (1) 例如: ① $ \sqrt{1} + \sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} $, 而 $ \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} $, $ \therefore \sqrt{1} + \sqrt{2} ＞ \sqrt{1 + 2} $; ② $ \sqrt{0} + \sqrt{5} = \sqrt{5} $, 而 $ \sqrt{0 + 5} = \sqrt{5} $, $ \therefore \sqrt{0} + \sqrt{5} = \sqrt{0 + 5} $; ③ $ \sqrt{5} + \sqrt{2} \approx 3.65 $, 而 $ \sqrt{5 + 2} = \sqrt{7} $, $ 2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3 $, $ \therefore \sqrt{5} + \sqrt{2} ＞ \sqrt{5 + 2} $; $ ··· \therefore \sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a + b} $; (2) $ \because (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2} = a + b + 2\sqrt{ab} $, $ (\sqrt{a + b})^{2} = a + b $, 而 $ 2\sqrt{ab} ≥ 0 $, $ \therefore \sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a + b} $.

(1) ①当$a=1$，$b=1$时，$\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$，$\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}\approx1.414$，$\therefore\sqrt{1}+\sqrt{1}＞\sqrt{1 + 1}$；②当$a=0$，$b=0$时，$\sqrt{0}+\sqrt{0}=0$，$\sqrt{0 + 0}=0$，$\therefore\sqrt{0}+\sqrt{0}=\sqrt{0 + 0}$；③当$a=3$，$b=4$时，$\sqrt{3}+\sqrt{4}\approx1.732 + 2=3.732$，$\sqrt{3 + 4}=\sqrt{7}\approx2.646$，$\therefore\sqrt{3}+\sqrt{4}＞\sqrt{3 + 4}$；猜想：$\sqrt{a}+\sqrt{b}≥\sqrt{a + b}$
(2) 证明：$\because(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a + b + 2\sqrt{ab}$，$(\sqrt{a + b})^{2}=a + b$，又$\because a≥0$，$b≥0$，$\therefore2\sqrt{ab}≥0$，$\therefore a + b + 2\sqrt{ab}≥ a + b$，即$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}≥(\sqrt{a + b})^{2}$，$\because\sqrt{a}+\sqrt{b}≥0$，$\sqrt{a + b}≥0$，$\therefore\sqrt{a}+\sqrt{b}≥\sqrt{a + b}$