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一、选择题
1. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$E$是边$CD$的中点，连接$OE$。若$∠ ABC=60^{\circ}$，$∠ BAC=80^{\circ}$，则$∠ 1$的度数为()
A. $50^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $30^{\circ}$
D. $20^{\circ}$
1. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，$E$是边$CD$的中点，连接$OE$。若$∠ ABC=60^{\circ}$，$∠ BAC=80^{\circ}$，则$∠ 1$的度数为()
A. $50^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $30^{\circ}$
D. $20^{\circ}$
答案
B
解析
在$□ABCD$中，$AD// BC$，$O$为$AC$中点（平行四边形对角线互相平分）。在$△ ABC$中，$∠ ABC=60^{\circ}$，$∠ BAC=80^{\circ}$，则$∠ ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}$。$E$是$CD$中点，故$OE$是$△ ACD$的中位线（三角形中位线定理），所以$OE// AD$，又$AD// BC$，则$OE// BC$，因此$∠ 1=∠ ACB=40^{\circ}$。
2. 如图，在菱形$ABCD$中，$E$是$AC$的中点，$EF// CB$，交$AB$于点$F$。如果$EF=3$，那么菱形$ABCD$的周长为()
A.$24$
B.$18$
C.$12$
D.$9$
A.$24$
B.$18$
C.$12$
D.$9$
答案
A
解析
1. 根据题意，$E$是$AC$的中点，且$EF // CB$，交$AB$于点$F$。
2. 由于$E$是$AC$的中点，且$EF // CB$，所以$EF$是$△ ABC$的中位线。
3. 根据中位线定理，$EF = \frac{1}{2} CB$。
4. 题目给出$EF = 3$，所以$CB = 2 × 3 = 6$。
5. 由于$ABCD$是菱形，四条边相等，所以菱形$ABCD$的周长为$4 × 6 = 24$。
2. 由于$E$是$AC$的中点，且$EF // CB$，所以$EF$是$△ ABC$的中位线。
3. 根据中位线定理，$EF = \frac{1}{2} CB$。
4. 题目给出$EF = 3$，所以$CB = 2 × 3 = 6$。
5. 由于$ABCD$是菱形，四条边相等，所以菱形$ABCD$的周长为$4 × 6 = 24$。
3. 在$□ ABCD$中，$AD=8$，$AE$平分$∠ BAD$交$BC$于点$E$，$DF$平分$∠ ADC$交$BC$于点$F$，且$EF=2$，则$AB$的长为()
A.$3$
B.$5$
C.$2$或$3$
D.$3$或$5$
A.$3$
B.$5$
C.$2$或$3$
D.$3$或$5$
答案
D
解析
在平行四边形$ABCD$中，$AD=BC=8$，$AB=CD$，$AD// BC$。
∵$AE$平分$∠ BAD$，∴$∠ BAE=∠ DAE$，又$AD// BC$，∴$∠ DAE=∠ AEB$，故$∠ BAE=∠ AEB$，$△ ABE$为等腰三角形，$AB=BE$。
同理，$DF$平分$∠ ADC$，可得$∠ CDF=∠ DFC$，$△ CDF$为等腰三角形，$CD=CF$，即$AB=CF$。设$AB=x$，则$BE=CF=x$。
情况1：点$E$在点$F$左侧，且$E$、$F$不重叠，$BC=BE+EF+FC$不成立，应为$EF=BC-BE-CF$，即$2=8-x-x$，解得$x=3$。
情况2：点$F$在点$E$左侧，$E$、$F$重叠部分为$EF$，则$EF=BE+CF-BC$，即$2=x+x-8$，解得$x=5$。
综上，$AB=3$或$5$。
∵$AE$平分$∠ BAD$，∴$∠ BAE=∠ DAE$，又$AD// BC$，∴$∠ DAE=∠ AEB$，故$∠ BAE=∠ AEB$，$△ ABE$为等腰三角形，$AB=BE$。
同理，$DF$平分$∠ ADC$，可得$∠ CDF=∠ DFC$，$△ CDF$为等腰三角形，$CD=CF$，即$AB=CF$。设$AB=x$，则$BE=CF=x$。
情况1：点$E$在点$F$左侧，且$E$、$F$不重叠，$BC=BE+EF+FC$不成立，应为$EF=BC-BE-CF$，即$2=8-x-x$，解得$x=3$。
情况2：点$F$在点$E$左侧，$E$、$F$重叠部分为$EF$，则$EF=BE+CF-BC$，即$2=x+x-8$，解得$x=5$。
综上，$AB=3$或$5$。
4. 如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为()
A.$60^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$90^{\circ}$
A.$60^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$90^{\circ}$
答案
C
解析
将长方形纸片对折两次（沿不同方向对折，形成互相垂直的折痕），此时折痕交点为中心，剪角时剪刀与折痕成45°角，剪下的等腰直角三角形展开后，因对称性四边相等且四角为直角，得到正方形。
5. 如图，平行四边形$ABCD$的对角线交于点$O$，且$AB=5$，$△ OCD$的周长为$23$，则平行四边形$ABCD$的两条对角线的和是()
A.$18$
B.$28$
C.$36$
D.$46$
A.$18$
B.$28$
C.$36$
D.$46$
答案
C
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC，OB=OD。
∵△OCD的周长为23，∴OC+OD+CD=23，即OC+OD=23-5=18。
∵AC=2OC，BD=2OD，∴AC+BD=2(OC+OD)=2×18=36。
∵△OCD的周长为23，∴OC+OD+CD=23，即OC+OD=23-5=18。
∵AC=2OC，BD=2OD，∴AC+BD=2(OC+OD)=2×18=36。
6. 如图，正方形$ABCD$的边长为$2$，$E$为与点$D$不重合的动点，以$DE$为一边作正方形$DEFG$。设$DE=d_{1}$，点$F$，$G$与点$C$的距离分别为$d_{2}$，$d_{3}$，则$d_{1}+d_{2}+d_{3}$的最小值为()
A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$
A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$
答案
C
解析
以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立坐标系，D(0,0)，C(2,0)。设E(x,y)，正方形DEFG中，G(-y,x)，F(x-y,x+y)。则d₁=√(x²+y²)，d₃=√[x²+(y+2)²]（G到C距离），d₂=√[2((x-1)²+(y+1)²)]（F到C距离化简得）。当E(1,-1)时，F与C重合（d₂=0），G(1,1)，d₁=√2，d₃=√2，d₁+d₂+d₃=2√2。
二、填空题
7. 如图，$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$，垂足为$E$，$AF⊥ CD$，垂足为$F$，$∠ ABC=75^{\circ}$，则$∠ EAF$的度数为。
7. 如图，$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$，垂足为$E$，$AF⊥ CD$，垂足为$F$，$∠ ABC=75^{\circ}$，则$∠ EAF$的度数为。
答案
在平行四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ ABC = 75^{\circ}$，所以$∠ BAD=180^{\circ}-∠ ABC=105^{\circ}$。
因为$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，所以$∠ AEB = ∠ AFD=90^{\circ}$。
又因为$AB// CD$，所以$∠ BAE=90^{\circ}-∠ ABC=15^{\circ}$，同理$∠ DAF=90^{\circ}-∠ ADC$，而$∠ ADC=∠ ABC = 75^{\circ}$，故$∠ DAF=15^{\circ}$。
因此，$∠ EAF=∠ BAD-∠ BAE-∠ DAF=105^{\circ}-15^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$。
$75^{\circ}$
因为$AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，所以$∠ AEB = ∠ AFD=90^{\circ}$。
又因为$AB// CD$，所以$∠ BAE=90^{\circ}-∠ ABC=15^{\circ}$，同理$∠ DAF=90^{\circ}-∠ ADC$，而$∠ ADC=∠ ABC = 75^{\circ}$，故$∠ DAF=15^{\circ}$。
因此，$∠ EAF=∠ BAD-∠ BAE-∠ DAF=105^{\circ}-15^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$。
$75^{\circ}$
8. 如图，四边形$ABCD$是菱形，$O$是两条对角线的交点，过$O$点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分。当菱形的两条对角线的长分别为$6$和$8$时，阴影部分的面积为。
答案
12
解析
菱形面积为对角线乘积的一半，即$\frac{1}{2}×6×8=24$。菱形是中心对称图形，对角线交点O为对称中心，过O的直线将菱形分成的两部分面积相等，故阴影部分面积为菱形面积的一半，即$24÷2=12$。
9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=6$，$D$是$AB$的中点，过点$D$作$DE// BC$，交$AC$于点$E$，点$M$在$DE$上，且$ME=\frac{1}{3}DM$。当$AM⊥ BM$时，则$BC$的长为。
答案
8
解析
以D为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，A(-3,0)，B(3,0)，D(0,0)。DE//BC，D为AB中点，故E为AC中点，DE为中位线，设DE=4a，则BC=2DE=8a。M在DE上，ME=1/3DM，故DM=3a，ME=a，M为DE的3:1分点，坐标为(3E_x/4,3E_y/4)（E为DE端点）。因AM⊥BM，向量AM·向量BM=0，即$[(3E_x/4+3)(3E_x/4-3)+(3E_y/4)^2]=0$。化简得9/16(E_x²+E_y²)=9，$E_x²+E_y²=(4a)^2=16a²$，代入得9a²=9，a=1。故BC=8a=8。
