10. 如图，$P$是正方形$ABCD$内一点，将$△ APB$绕点$B$顺时针旋转能与$△ CP'B$重合，若$BP=1$，则$PP'=$。

$\sqrt{2}$

∵△APB绕点B顺时针旋转能与△CP'B重合，∴BP=BP'=1，∠ABP=∠CBP'。∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，即∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°。在Rt△PBP'中，PP'=$\sqrt{BP^2 + BP'^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$。

三、解答题
11. 如图，等边三角形$ABC$的边长为$2$，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，延长$BC$至点$F$，使$CF=\frac{1}{2}BC$，连接$CD$和$EF$。
（1）求证：$DE=CF$；
（2）求$EF$的长。

（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，DE//BC，
∵CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=CF；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为2，D为AB中点，
∴AB=BC=2，AD=BD=1，∠B=60°，
∵CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB（三线合一），
在Rt△BCD中，BD=1，BC=2，
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{BC^2 - BD^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$，
∵DE//BC，DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF=CD=$\sqrt{3}$。

12. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，$DF⊥ BC$，垂足为$F$，点$G$在$DE$的延长线上，且$DG=FC$。
（1）求证：四边形$DFCG$是矩形；
（2）若$∠ B=45^{\circ}$，$DF=3$，$DG=5$，求$BC$和$AC$的长。

13. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$D$为$AB$的中点，且$AE// CD$，$CE// AB$。
（1）证明：四边形$ADCE$是菱形；
（2）若$∠ B=60^{\circ}$，$BC=6$，求菱形$ADCE$的高（结果保留根号）。

（1）见证明过程；（2）3√3。

（1）证明：∵AE//CD，CE//AB，∴四边形ADCE是平行四边形。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AD（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵四边形ADCE是平行四边形且AD=CD，∴四边形ADCE是菱形。
（2）在Rt△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°。
∵BC=6，∠BAC=30°，∴AB=2BC=12（30°角所对直角边是斜边一半）。
∵D为AB中点，∴AD=AB/2=6，即菱形ADCE的边长为6。
由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(12²-6²)=6√3。
设菱形ADCE对角线AC与DE交于点O，∵菱形对角线互相垂直平分，∴AO=AC/2=3√3，OD=DE/2。
在Rt△AOD中，AD=6，AO=3√3，∴OD=√(AD²-AO²)=√(6²-(3√3)²)=3，∴DE=2OD=6。
菱形面积=AC×DE/2=6√3×6/2=18√3。
设菱形高为h，面积也为AD×h=6h，∴6h=18√3，解得h=3√3。