三、求出下列圆柱的表面积。


素养提升

第一个圆柱表面积为$ 244.92\,\mathrm{dm}^2 $，第二个圆柱表面积为$ 408.2\,\mathrm{cm}^2 $。

第一个圆柱：
半径$ r=3\,\mathrm{dm} $，高$ h=10\,\mathrm{dm} $
底面积：$ π r^2=3.14×3^2=28.26\,\mathrm{dm}^2 $
侧面积：$ 2π r h=2×3.14×3×10=188.4\,\mathrm{dm}^2 $
表面积：$ 188.4+2×28.26=244.92\,\mathrm{dm}^2 $
第二个圆柱：
底面周长$ C=31.4\,\mathrm{cm} $，高$ h=8\,\mathrm{cm} $
半径$ r=C/(2π)=31.4/(2×3.14)=5\,\mathrm{cm} $
底面积：$ π r^2=3.14×5^2=78.5\,\mathrm{cm}^2 $
侧面积：$ C h=31.4×8=251.2\,\mathrm{cm}^2 $
表面积：$ 251.2+2×78.5=408.2\,\mathrm{cm}^2 $

四、解决问题。
1. 有一块长方形的铁皮，长 25.12cm，宽 18.84cm，让它作为侧面做一个无盖的圆柱形的容器（不浪费材料），要配一个多大面积的底面？有几种不同的配法？
2. 一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽 2m，直径 1m。工作时前轮每分钟转动 10 周，它 1 小时压路的面积是多少平方米？
3. 一个圆柱形蓄水池，从里面量得底面直径是 4m，高是 3m。在水池内的下底面和侧面抹上水泥，平均每平方米用水泥 3kg，一共需要多少千克水泥？

1.
配法一：以长25.12cm为底面周长。
底面半径：$25.12÷(2×3.14)=4\,\mathrm{cm}$
底面积：$3.14×4^2=50.24\,\mathrm{cm}^2$
配法二：以宽18.84cm为底面周长。
底面半径：$18.84÷(2×3.14)=3\,\mathrm{cm}$
底面积：$3.14×3^2=28.26\,\mathrm{cm}^2$
有2种配法，底面积分别为$50.24\,\mathrm{cm}^2$和$28.26\,\mathrm{cm}^2$。
2.
前轮侧面积：$3.14×1×2=6.28\,\mathrm{m}^2$
1分钟压路面积：$6.28×10=62.8\,\mathrm{m}^2$
1小时（60分钟）压路面积：$62.8×60=3768\,\mathrm{m}^2$
3.
底面半径：$4÷2=2\,\mathrm{m}$
底面积：$3.14×2^2=12.56\,\mathrm{m}^2$
侧面积：$3.14×4×3=37.68\,\mathrm{m}^2$
抹水泥总面积：$12.56+37.68=50.24\,\mathrm{m}^2$
需水泥：$50.24×3=150.72\,\mathrm{kg}$

如图，将圆柱沿着箭头方向竖着切开，表面积增加了 40cm²。求原圆柱的表面积。（提示：增加了 2 个相同的长方形的面积。）

设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$。
由题意，圆柱的底面直径为4cm，所以半径 $r = \frac{4}{2} = 2（cm）$。
沿着箭头方向竖着切开后，表面积增加了两个长方形的面积，每个长方形的面积为 $h × 2r=h×4$，所以两个长方形的总面积为 $2 × (h × 2r) = 40（cm^2）$，即：
$2 × (h × 4) = 40$，
$8h = 40$，
$h = 5（cm）$。
圆柱的表面积 $S$ 包括两个底面积和一个侧面积，即：
$S = 2π r^{2} + 2π rh$，
$S = 2π × 2^{2} + 2π × 2 × 5$，
$S = 8π + 20π$，
$S = 28π$，
$S = 28 × 3.14$，
$S = 87.92（cm^2）$。
所以原圆柱的表面积为$87.92cm^2$。