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(1)一个正方体的棱长总和是 24 cm，它的表面积是(
24 cm²
)，体积是(8 cm³
)。答案
1. (1)24 cm² 8 cm³
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：
1. 先回忆正方体的特征：正方体有12条长度完全相等的棱，已知棱长总和，用总和除以12就能求出每条棱的长度；
2. 再利用正方体表面积公式：正方体表面积=6×棱长×棱长，代入求出的棱长计算表面积；
3. 最后利用正方体体积公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长，代入棱长计算体积。
【解析】
步骤1：计算正方体的棱长
正方体有12条棱且每条棱长度相等，已知棱长总和为24cm，因此棱长为：
$24÷12 = 2\mathrm{cm}$
步骤2：计算正方体的表面积
根据正方体表面积公式$S = 6a^2$（$a$为棱长），代入$a=2\mathrm{cm}$：
$S = 6×2×2 = 24\mathrm{cm}^2$
步骤3：计算正方体的体积
根据正方体体积公式$V = a^3$（$a$为棱长），代入$a=2\mathrm{cm}$：
$V = 2×2×2 = 8\mathrm{cm}^3$
【答案】
24 cm²；8 cm³
【知识点】
正方体棱长计算；正方体表面积计算；正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体的基本特征及表面积、体积公式的应用，属于基础题型，解题关键是牢记正方体棱的数量及相关公式，计算时注意单位规范书写。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，可按以下思路思考：
1. 先回忆正方体的特征：正方体有12条长度完全相等的棱，已知棱长总和，用总和除以12就能求出每条棱的长度；
2. 再利用正方体表面积公式：正方体表面积=6×棱长×棱长，代入求出的棱长计算表面积；
3. 最后利用正方体体积公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长，代入棱长计算体积。
【解析】
步骤1：计算正方体的棱长
正方体有12条棱且每条棱长度相等，已知棱长总和为24cm，因此棱长为：
$24÷12 = 2\mathrm{cm}$
步骤2：计算正方体的表面积
根据正方体表面积公式$S = 6a^2$（$a$为棱长），代入$a=2\mathrm{cm}$：
$S = 6×2×2 = 24\mathrm{cm}^2$
步骤3：计算正方体的体积
根据正方体体积公式$V = a^3$（$a$为棱长），代入$a=2\mathrm{cm}$：
$V = 2×2×2 = 8\mathrm{cm}^3$
【答案】
24 cm²；8 cm³
【知识点】
正方体棱长计算；正方体表面积计算；正方体体积计算
【点评】
本题考查正方体的基本特征及表面积、体积公式的应用，属于基础题型，解题关键是牢记正方体棱的数量及相关公式，计算时注意单位规范书写。
【难度系数】
0.9
(2)正方体的棱长扩大 5 倍，表面积扩大(
25
)倍，体积扩大(125
)倍。答案
1. (2)25 125
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先回忆正方体表面积和体积的计算公式，再通过设原棱长为字母，分别计算棱长扩大前后的表面积和体积，最后对比得出扩大的倍数。具体思路如下：
1. 正方体表面积公式为$S = 6a^2$（$a$为棱长），表面积与棱长的平方成正比；体积公式为$V = a^3$，体积与棱长的立方成正比。
2. 设原棱长为$a$，计算原表面积和体积；再计算棱长扩大5倍后的新表面积和体积，用新的量除以原来的量，即可得到扩大的倍数。
【解析】
设正方体原来的棱长为$a$。
1. 计算表面积扩大的倍数：
原表面积：$S_{\mathrm{原}} = 6a^2$
棱长扩大5倍后，新棱长为$5a$，新表面积：$S_{\mathrm{新}} = 6×(5a)^2 = 6×25a^2 = 25×6a^2 = 25S_{\mathrm{原}}$
因此，表面积扩大25倍。
2. 计算体积扩大的倍数：
原体积：$V_{\mathrm{原}} = a^3$
新体积：$V_{\mathrm{新}} = (5a)^3 = 125a^3 = 125V_{\mathrm{原}}$
因此，体积扩大125倍。
【答案】
25；125
【知识点】
正方体表面积公式；正方体体积公式；积的变化规律
【点评】
本题主要考查正方体表面积和体积公式的应用，以及棱长变化对表面积、体积的影响。解题关键是明确：正方体棱长扩大$n$倍时，表面积扩大$n^2$倍，体积扩大$n^3$倍，需注意区分表面积与体积的变化规律，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以先回忆正方体表面积和体积的计算公式，再通过设原棱长为字母，分别计算棱长扩大前后的表面积和体积，最后对比得出扩大的倍数。具体思路如下：
1. 正方体表面积公式为$S = 6a^2$（$a$为棱长），表面积与棱长的平方成正比；体积公式为$V = a^3$，体积与棱长的立方成正比。
2. 设原棱长为$a$，计算原表面积和体积；再计算棱长扩大5倍后的新表面积和体积，用新的量除以原来的量，即可得到扩大的倍数。
【解析】
设正方体原来的棱长为$a$。
1. 计算表面积扩大的倍数：
原表面积：$S_{\mathrm{原}} = 6a^2$
棱长扩大5倍后，新棱长为$5a$，新表面积：$S_{\mathrm{新}} = 6×(5a)^2 = 6×25a^2 = 25×6a^2 = 25S_{\mathrm{原}}$
因此，表面积扩大25倍。
2. 计算体积扩大的倍数：
原体积：$V_{\mathrm{原}} = a^3$
新体积：$V_{\mathrm{新}} = (5a)^3 = 125a^3 = 125V_{\mathrm{原}}$
因此，体积扩大125倍。
【答案】
25；125
【知识点】
正方体表面积公式；正方体体积公式；积的变化规律
【点评】
本题主要考查正方体表面积和体积公式的应用，以及棱长变化对表面积、体积的影响。解题关键是明确：正方体棱长扩大$n$倍时，表面积扩大$n^2$倍，体积扩大$n^3$倍，需注意区分表面积与体积的变化规律，避免混淆。
【难度系数】
0.8
(3)长 5 cm，宽 3 cm，高 2 cm 的两个长方体拼成一个长方体，表面积最多减少(
30
)cm²，最少减少(12
)cm²。答案
1. (3)30 12
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是理解两个长方体拼接成一个大长方体时，表面积减少的部分是两个相互重合的面的面积之和。首先需要找出原长方体三个不同面的面积，最大的面重合时减少的表面积最多，最小的面重合时减少的表面积最少，再分别计算两个对应面的面积和即可。
【解析】
1. 计算原长方体三个不同面的面积：
长×宽：$5×3 = 15$（$cm²$）
长×高：$5×2 = 10$（$cm²$）
宽×高：$3×2 = 6$（$cm²$）
2. 计算最多减少的表面积：选择最大的面重合，减少的是两个该面的面积，即$15×2 = 30$（$cm²$）
3. 计算最少减少的表面积：选择最小的面重合，减少的是两个该面的面积，即$6×2 = 12$（$cm²$）
【答案】
30；12
【知识点】
长方体表面积变化
【点评】
本题考查长方体拼接时的表面积变化规律，核心是明确拼接后表面积减少的部分为两个重合面的面积之和，通过比较不同面的面积大小即可求解，需要学生掌握长方体面的面积计算及对表面积变化的理解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，关键是理解两个长方体拼接成一个大长方体时，表面积减少的部分是两个相互重合的面的面积之和。首先需要找出原长方体三个不同面的面积，最大的面重合时减少的表面积最多，最小的面重合时减少的表面积最少，再分别计算两个对应面的面积和即可。
【解析】
1. 计算原长方体三个不同面的面积：
长×宽：$5×3 = 15$（$cm²$）
长×高：$5×2 = 10$（$cm²$）
宽×高：$3×2 = 6$（$cm²$）
2. 计算最多减少的表面积：选择最大的面重合，减少的是两个该面的面积，即$15×2 = 30$（$cm²$）
3. 计算最少减少的表面积：选择最小的面重合，减少的是两个该面的面积，即$6×2 = 12$（$cm²$）
【答案】
30；12
【知识点】
长方体表面积变化
【点评】
本题考查长方体拼接时的表面积变化规律，核心是明确拼接后表面积减少的部分为两个重合面的面积之和，通过比较不同面的面积大小即可求解，需要学生掌握长方体面的面积计算及对表面积变化的理解。
【难度系数】
0.7
(4)右图是一个(
圆柱
)图形的展开图，这个图形的表面积是(62.8
)平方厘米，体积是(37.68
)立方厘米。答案
1. (4)圆柱 62.8 37.68
解析
【分析】
首先观察展开图，由一个长方形和两个完全相同的圆形组成，符合圆柱展开图的特征，所以判断是圆柱。接下来计算表面积和体积：
1. 先根据长方形的长（圆柱底面周长），利用圆的周长公式变形求出底面半径；
2. 圆柱表面积=侧面积+2个底面积，侧面积是长方形的面积，底面积用圆的面积公式计算；
3. 圆柱体积=底面积×高，长方形的宽就是圆柱的高，代入数值计算即可。
【解析】
1. 判断图形：展开图包含长方形和两个圆形，是圆柱的展开图。
2. 求底面半径：
已知底面周长$C=12.56\mathrm{cm}$，根据$r=C÷(2π)$，代入$π=3.14$，得：
$r=12.56÷(2×3.14)=2\mathrm{cm}$
3. 计算表面积：
侧面积：$12.56×3=37.68\mathrm{cm}^2$
底面积：$3.14×2^2=12.56\mathrm{cm}^2$
表面积：$37.68+2×12.56=37.68+25.12=62.8\mathrm{cm}^2$
4. 计算体积：
体积：$3.14×2^2×3=12.56×3=37.68\mathrm{cm}^3$
【答案】
圆柱；62.8；37.68
【知识点】
圆柱展开图特征、圆柱表面积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题考查圆柱的相关知识，需要熟悉圆柱展开图的组成，掌握圆柱表面积和体积的计算公式，解题关键是通过底面周长求出底面半径，再代入公式进行计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察展开图，由一个长方形和两个完全相同的圆形组成，符合圆柱展开图的特征，所以判断是圆柱。接下来计算表面积和体积：
1. 先根据长方形的长（圆柱底面周长），利用圆的周长公式变形求出底面半径；
2. 圆柱表面积=侧面积+2个底面积，侧面积是长方形的面积，底面积用圆的面积公式计算；
3. 圆柱体积=底面积×高，长方形的宽就是圆柱的高，代入数值计算即可。
【解析】
1. 判断图形：展开图包含长方形和两个圆形，是圆柱的展开图。
2. 求底面半径：
已知底面周长$C=12.56\mathrm{cm}$，根据$r=C÷(2π)$，代入$π=3.14$，得：
$r=12.56÷(2×3.14)=2\mathrm{cm}$
3. 计算表面积：
侧面积：$12.56×3=37.68\mathrm{cm}^2$
底面积：$3.14×2^2=12.56\mathrm{cm}^2$
表面积：$37.68+2×12.56=37.68+25.12=62.8\mathrm{cm}^2$
4. 计算体积：
体积：$3.14×2^2×3=12.56×3=37.68\mathrm{cm}^3$
【答案】
圆柱；62.8；37.68
【知识点】
圆柱展开图特征、圆柱表面积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题考查圆柱的相关知识，需要熟悉圆柱展开图的组成，掌握圆柱表面积和体积的计算公式，解题关键是通过底面周长求出底面半径，再代入公式进行计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
(5)右图是由若干个 1 立方厘米的小正方体堆成的，它的体积是(
19
)立方厘米，表面积是(52
)平方厘米。答案
1. (5)19 52
解析
【分析】
1. 求体积：每个小正方体的体积是1立方厘米，因此立体图形的体积等于小正方体的总个数。可通过分层计数法，从上到下依次统计每层小正方体的数量，再求和得到总个数，即为体积。
2. 求表面积：每个小正方体的一个面面积为1平方厘米，需统计立体图形所有外露面的总个数。可分别从上下、前后、左右六个方向观察，数出每个方向可见的正方形面数，将六个方向的面数相加，总面数即为表面积的数值。
【解析】
1. 计算体积：
分层统计小正方体数量：
最上层：1个
中间层：7个
最下层：11个
总个数：$1 + 7 + 11 = 19$（个）
因为每个小正方体体积是1立方厘米，所以总体积为：$19×1 = 19$（立方厘米）
2. 计算表面积：
分别统计六个方向的外露面数量：
上、下方向：每个方向有11个面，共$11×2 = 22$（个）
前、后方向：每个方向有8个面，共$8×2 = 16$（个）
左、右方向：每个方向有7个面，共$7×2 = 14$（个）
总面数：$22 + 16 + 14 = 52$（个）
每个面面积为1平方厘米，因此表面积为：$52×1 = 52$（平方厘米）
【答案】
19；52
【知识点】
立体图形体积计算；立体图形表面积计算
【点评】
本题考查由小正方体组成的立体图形的体积与表面积计算，体积计算核心是准确计数小正方体个数，表面积计算需具备一定空间想象能力，从六个方向全面观察，避免遗漏或重复计算外露面，提升空间感知能力。
【难度系数】
0.4
1. 求体积：每个小正方体的体积是1立方厘米，因此立体图形的体积等于小正方体的总个数。可通过分层计数法，从上到下依次统计每层小正方体的数量，再求和得到总个数，即为体积。
2. 求表面积：每个小正方体的一个面面积为1平方厘米，需统计立体图形所有外露面的总个数。可分别从上下、前后、左右六个方向观察，数出每个方向可见的正方形面数，将六个方向的面数相加，总面数即为表面积的数值。
【解析】
1. 计算体积：
分层统计小正方体数量：
最上层：1个
中间层：7个
最下层：11个
总个数：$1 + 7 + 11 = 19$（个）
因为每个小正方体体积是1立方厘米，所以总体积为：$19×1 = 19$（立方厘米）
2. 计算表面积：
分别统计六个方向的外露面数量：
上、下方向：每个方向有11个面，共$11×2 = 22$（个）
前、后方向：每个方向有8个面，共$8×2 = 16$（个）
左、右方向：每个方向有7个面，共$7×2 = 14$（个）
总面数：$22 + 16 + 14 = 52$（个）
每个面面积为1平方厘米，因此表面积为：$52×1 = 52$（平方厘米）
【答案】
19；52
【知识点】
立体图形体积计算；立体图形表面积计算
【点评】
本题考查由小正方体组成的立体图形的体积与表面积计算，体积计算核心是准确计数小正方体个数，表面积计算需具备一定空间想象能力，从六个方向全面观察，避免遗漏或重复计算外露面，提升空间感知能力。
【难度系数】
0.4
(6)下图是一个正方体的三种不同摆法，请你将 1~6 这六个数字填在这个正方体的展开图里。
答案
1. (6)
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先通过正方体的三种摆法确定各个数字的相对面，再根据正方体展开图的相邻、相对关系填入数字：
1. 先找出现次数最多的数字3，观察它的相邻面：从三个摆法可知，3和2、6、4都相邻，而正方体每个面只有1个相对面，所以3的相对面只能是1（排除3本身和相邻的2、4、6，剩下1）。
2. 再看数字6，它和3、4相邻，结合第一个摆法中2和3相邻，可推断2和6是相对面（二者都与3相邻，且在正方体中处于相对位置）。
3. 最后剩下的4和5自然是相对面。
4. 再根据“一四一”型正方体展开图的相对关系（中间四个面中，隔一个的面相对，上下两个面相对），将数字填入展开图，同时保证相邻关系符合已知的摆法。
【解析】
步骤1：确定相对面
观察三个正方体摆法，数字3与2、6、4相邻，因此3的相对面是1；
数字6与3、4相邻，结合2与3相邻，可知2的相对面是6；
剩余数字4和5互为相对面。
步骤2：根据展开图结构填数
展开图为“一四一”型，中间四个面中，第1个和第3个相对，第2个和第4个相对，上下两个面相对。我们可以：
中间行第2个面填3，其相对面中间行第4个填1；
中间行第1个面填2，其相对面中间行第3个填6；
上面的面填4，下面的面填5或上下互换，只要4和5相对即可。
最终填法示例：
```
4
2 3 6 1
5
```
【答案】
展开图填法示例符合相对面关系的其他正确填法均可：
```
4
2 3 6 1
5
```
【知识点】
正方体相对面判断、正方体展开图特征
【点评】
本题需要通过正方体的不同摆法分析相邻面，进而确定相对面，再结合展开图的结构特征完成填数，考验空间想象能力和逻辑推理能力，关键是抓住“相邻面一定不相对”的核心规律。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们需要先通过正方体的三种摆法确定各个数字的相对面，再根据正方体展开图的相邻、相对关系填入数字：
1. 先找出现次数最多的数字3，观察它的相邻面：从三个摆法可知，3和2、6、4都相邻，而正方体每个面只有1个相对面，所以3的相对面只能是1（排除3本身和相邻的2、4、6，剩下1）。
2. 再看数字6，它和3、4相邻，结合第一个摆法中2和3相邻，可推断2和6是相对面（二者都与3相邻，且在正方体中处于相对位置）。
3. 最后剩下的4和5自然是相对面。
4. 再根据“一四一”型正方体展开图的相对关系（中间四个面中，隔一个的面相对，上下两个面相对），将数字填入展开图，同时保证相邻关系符合已知的摆法。
【解析】
步骤1：确定相对面
观察三个正方体摆法，数字3与2、6、4相邻，因此3的相对面是1；
数字6与3、4相邻，结合2与3相邻，可知2的相对面是6；
剩余数字4和5互为相对面。
步骤2：根据展开图结构填数
展开图为“一四一”型，中间四个面中，第1个和第3个相对，第2个和第4个相对，上下两个面相对。我们可以：
中间行第2个面填3，其相对面中间行第4个填1；
中间行第1个面填2，其相对面中间行第3个填6；
上面的面填4，下面的面填5或上下互换，只要4和5相对即可。
最终填法示例：
```
4
2 3 6 1
5
```
【答案】
展开图填法示例符合相对面关系的其他正确填法均可：
```
4
2 3 6 1
5
```
【知识点】
正方体相对面判断、正方体展开图特征
【点评】
本题需要通过正方体的不同摆法分析相邻面，进而确定相对面，再结合展开图的结构特征完成填数，考验空间想象能力和逻辑推理能力，关键是抓住“相邻面一定不相对”的核心规律。
【难度系数】
0.4
2. 右图是一个养鸡专业户用一段长 20 米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，其中一面利用墙，求这个养鸡场占地面积有多少平方米。
答案
2. 32平方米
解析
【分析】
要计算养鸡场的占地面积，需先求出长方形养鸡场的宽。已知篱笆总长20米，且一面利用墙（无需用篱笆围），结合图中给出的长方形的长为8米，可知篱笆围了长方形的2个长和1个宽。因此先通过篱笆总长减去2个长的长度，求出宽的长度，再利用长方形面积公式计算占地面积。
【解析】
1. 计算长方形养鸡场的宽：
因为一面靠墙，篱笆仅围了2个长和1个宽，所以宽为：
$20 - 8×2 = 20 - 16 = 4$（米）
2. 计算养鸡场的占地面积（长方形面积）：
根据长方形面积公式：$面积=长×宽$，代入数据得：
$8×4 = 32$（平方米）
【答案】
32平方米
【知识点】
长方形面积计算、长方形周长（特殊场景）
【点评】
本题属于长方形周长与面积的实际应用问题，核心是准确判断一面靠墙时，篱笆长度对应长方形的边的组成，理清数量关系后即可通过基础公式计算出结果，需要结合图形理解靠墙的边无需篱笆这一关键条件。
【难度系数】
0.6
要计算养鸡场的占地面积，需先求出长方形养鸡场的宽。已知篱笆总长20米，且一面利用墙（无需用篱笆围），结合图中给出的长方形的长为8米，可知篱笆围了长方形的2个长和1个宽。因此先通过篱笆总长减去2个长的长度，求出宽的长度，再利用长方形面积公式计算占地面积。
【解析】
1. 计算长方形养鸡场的宽：
因为一面靠墙，篱笆仅围了2个长和1个宽，所以宽为：
$20 - 8×2 = 20 - 16 = 4$（米）
2. 计算养鸡场的占地面积（长方形面积）：
根据长方形面积公式：$面积=长×宽$，代入数据得：
$8×4 = 32$（平方米）
【答案】
32平方米
【知识点】
长方形面积计算、长方形周长（特殊场景）
【点评】
本题属于长方形周长与面积的实际应用问题，核心是准确判断一面靠墙时，篱笆长度对应长方形的边的组成，理清数量关系后即可通过基础公式计算出结果，需要结合图形理解靠墙的边无需篱笆这一关键条件。
【难度系数】
0.6
3. 右图是一个长方体的展开图。
(1)请给相对的面涂上相同的图案。
(2)计算它的表面积和容积。
(1)请给相对的面涂上相同的图案。
(2)计算它的表面积和容积。
答案
3. (1)
(2)164 m² 120 m³
解析
【分析】
1. 第(1)问：先观察长方体展开图的特征，长方体展开图中相对的面形状、大小完全相同且不相邻。结合图中标注的尺寸，确定长方体的长、宽、高分别为10cm、4cm、3cm，由此可找出相对的面：长×宽的两个面相对，长×高的两个面相对，宽×高的两个面相对，据此给相对的面涂相同图案。
2. 第(2)问：先明确长方体的长、宽、高，再利用长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$（$a$为长，$b$为宽，$h$为高）计算表面积；利用长方体容积公式$V=abh$（忽略容器壁厚，容积计算方法与体积一致）计算容积。
【解析】
(1) 相对的面识别：上下两个长10cm、宽4cm的长方形相对；左右两个长10cm、高3cm的长方形相对；剩余两个长4cm、高3cm的长方形相对，按照此规律给相对的面涂上相同图案（图案可自行选择，保证相对面图案一致即可）。
(2) 已知长方体的长$a=10\mathrm{cm}$，宽$b=4\mathrm{cm}$，高$h=3\mathrm{cm}$。
① 计算表面积：
$\begin{aligned}S&=2(ab+ah+bh)\\&=2×(10×4 + 10×3 + 4×3)\\&=2×(40+30+12)\\&=2×82\\&=164\mathrm{cm}^2\end{aligned}$
② 计算容积：
$\begin{aligned}V&=abh\\&=10×4×3\\&=120\mathrm{cm}^3\end{aligned}$
【答案】
(1) 相对的面涂相同图案（具体：上下两个$10\mathrm{cm}×4\mathrm{cm}$的面图案相同，左右两个$10\mathrm{cm}×3\mathrm{cm}$的面图案相同，剩余两个$4\mathrm{cm}×3\mathrm{cm}$的面图案相同）；
(2) 表面积为$\boldsymbol{164\mathrm{cm}^2}$，容积为$\boldsymbol{120\mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
长方体展开图特征、长方体表面积计算、长方体容积计算
【点评】
本题考查长方体展开图的认识及表面积、容积的计算，解题核心是从展开图中准确提取长方体的长、宽、高，熟练运用公式计算。注意题目单位为厘米，参考答案中单位为笔误，实际应为平方厘米和立方厘米。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：先观察长方体展开图的特征，长方体展开图中相对的面形状、大小完全相同且不相邻。结合图中标注的尺寸，确定长方体的长、宽、高分别为10cm、4cm、3cm，由此可找出相对的面：长×宽的两个面相对，长×高的两个面相对，宽×高的两个面相对，据此给相对的面涂相同图案。
2. 第(2)问：先明确长方体的长、宽、高，再利用长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$（$a$为长，$b$为宽，$h$为高）计算表面积；利用长方体容积公式$V=abh$（忽略容器壁厚，容积计算方法与体积一致）计算容积。
【解析】
(1) 相对的面识别：上下两个长10cm、宽4cm的长方形相对；左右两个长10cm、高3cm的长方形相对；剩余两个长4cm、高3cm的长方形相对，按照此规律给相对的面涂上相同图案（图案可自行选择，保证相对面图案一致即可）。
(2) 已知长方体的长$a=10\mathrm{cm}$，宽$b=4\mathrm{cm}$，高$h=3\mathrm{cm}$。
① 计算表面积：
$\begin{aligned}S&=2(ab+ah+bh)\\&=2×(10×4 + 10×3 + 4×3)\\&=2×(40+30+12)\\&=2×82\\&=164\mathrm{cm}^2\end{aligned}$
② 计算容积：
$\begin{aligned}V&=abh\\&=10×4×3\\&=120\mathrm{cm}^3\end{aligned}$
【答案】
(1) 相对的面涂相同图案（具体：上下两个$10\mathrm{cm}×4\mathrm{cm}$的面图案相同，左右两个$10\mathrm{cm}×3\mathrm{cm}$的面图案相同，剩余两个$4\mathrm{cm}×3\mathrm{cm}$的面图案相同）；
(2) 表面积为$\boldsymbol{164\mathrm{cm}^2}$，容积为$\boldsymbol{120\mathrm{cm}^3}$。
【知识点】
长方体展开图特征、长方体表面积计算、长方体容积计算
【点评】
本题考查长方体展开图的认识及表面积、容积的计算，解题核心是从展开图中准确提取长方体的长、宽、高，熟练运用公式计算。注意题目单位为厘米，参考答案中单位为笔误，实际应为平方厘米和立方厘米。
【难度系数】
0.6
4. 下图是一块长方形铁皮，剪掉四个角上所有阴影部分的正方形后，沿虚线处折一个无盖的铁盒，求这个铁盒的容积。想一想，用这块铁皮做一个深 5 厘米的无盖长方体盒子，你还可以怎么做？请画出下料图，并求出铁盒的容积。
答案
4. (40 - 5×2)×(20 - 5×2)×5 = 1500(立方厘米)
方法一：(40 - 5)×(20 - 5×2)×5 = 1750(立方厘米)
方法二：(40 - 5×4)×20×5 = 2000(立方厘米)
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确无盖铁盒的长、宽、高与原长方形铁皮的关系：
1. 对于题目中剪掉四个角正方形的常规情况：铁盒的高等于剪掉的正方形边长5厘米；铁盒的长是原长方形长减去左右两个正方形的边长，宽是原长方形宽减去上下两个正方形的边长，再利用长方体容积公式计算容积。
2. 对于其他做法，可改变裁剪方式，通过调整裁剪正方形的位置和数量，改变铁盒的长、宽、高，再计算对应的容积，需要结合空间想象理解折叠后铁盒的尺寸变化。
【解析】
常规裁剪法（题目图示）
1. 确定铁盒的长：原长方形长为40厘米，左右各剪去一个边长5厘米的正方形，因此长为 $40 - 5×2 = 30$（厘米）
2. 确定铁盒的宽：原长方形宽为20厘米，上下各剪去一个边长5厘米的正方形，因此宽为 $20 - 5×2 = 10$（厘米）
3. 铁盒的高为剪掉的正方形边长，即5厘米
4. 计算容积：根据长方体容积公式 $V=长×宽×高$，可得 $30×10×5 = 1500$（立方厘米）
方法一（单侧裁剪折起）
下料方式：在长方形铁皮宽的两端各剪一个边长5厘米的正方形，将长的一侧部分折起作为铁盒侧面（下料图参考参考答案配图）
1. 铁盒的长：$40 - 5 = 35$（厘米）
2. 铁盒的宽：$20 - 5×2 = 10$（厘米）
3. 铁盒的高：5厘米
4. 计算容积：$35×10×5 = 1750$（立方厘米）
方法二（单侧多裁剪）
下料方式：在长方形铁皮长的一侧剪四个边长5厘米的正方形，将对应部分折起作为铁盒侧面（下料图参考参考答案配图）
1. 铁盒的长：$40 - 5×4 = 20$（厘米）
2. 铁盒的宽：20厘米
3. 铁盒的高：5厘米
4. 计算容积：$20×20×5 = 2000$（立方厘米）
【答案】
题目图示裁剪法的铁盒容积为1500立方厘米；
方法一的铁盒容积为1750立方厘米；
方法二的铁盒容积为2000立方厘米。
【知识点】
长方体容积计算，立体图形折叠，铁皮下料设计
【点评】
本题考查了长方体容积计算与空间想象能力，通过不同的裁剪折叠方式得到不同规格的无盖铁盒，需要灵活分析长、宽、高的变化，既巩固了容积计算知识，又培养了创新设计思维。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确无盖铁盒的长、宽、高与原长方形铁皮的关系：
1. 对于题目中剪掉四个角正方形的常规情况：铁盒的高等于剪掉的正方形边长5厘米；铁盒的长是原长方形长减去左右两个正方形的边长，宽是原长方形宽减去上下两个正方形的边长，再利用长方体容积公式计算容积。
2. 对于其他做法，可改变裁剪方式，通过调整裁剪正方形的位置和数量，改变铁盒的长、宽、高，再计算对应的容积，需要结合空间想象理解折叠后铁盒的尺寸变化。
【解析】
常规裁剪法（题目图示）
1. 确定铁盒的长：原长方形长为40厘米，左右各剪去一个边长5厘米的正方形，因此长为 $40 - 5×2 = 30$（厘米）
2. 确定铁盒的宽：原长方形宽为20厘米，上下各剪去一个边长5厘米的正方形，因此宽为 $20 - 5×2 = 10$（厘米）
3. 铁盒的高为剪掉的正方形边长，即5厘米
4. 计算容积：根据长方体容积公式 $V=长×宽×高$，可得 $30×10×5 = 1500$（立方厘米）
方法一（单侧裁剪折起）
下料方式：在长方形铁皮宽的两端各剪一个边长5厘米的正方形，将长的一侧部分折起作为铁盒侧面（下料图参考参考答案配图）
1. 铁盒的长：$40 - 5 = 35$（厘米）
2. 铁盒的宽：$20 - 5×2 = 10$（厘米）
3. 铁盒的高：5厘米
4. 计算容积：$35×10×5 = 1750$（立方厘米）
方法二（单侧多裁剪）
下料方式：在长方形铁皮长的一侧剪四个边长5厘米的正方形，将对应部分折起作为铁盒侧面（下料图参考参考答案配图）
1. 铁盒的长：$40 - 5×4 = 20$（厘米）
2. 铁盒的宽：20厘米
3. 铁盒的高：5厘米
4. 计算容积：$20×20×5 = 2000$（立方厘米）
【答案】
题目图示裁剪法的铁盒容积为1500立方厘米；
方法一的铁盒容积为1750立方厘米；
方法二的铁盒容积为2000立方厘米。
【知识点】
长方体容积计算，立体图形折叠，铁皮下料设计
【点评】
本题考查了长方体容积计算与空间想象能力，通过不同的裁剪折叠方式得到不同规格的无盖铁盒，需要灵活分析长、宽、高的变化，既巩固了容积计算知识，又培养了创新设计思维。
【难度系数】
0.6
