6. 如图，已知在 $ △ DEF $ 中，$ DE = 17 \mathrm{ cm} $，$ EF = 30 \mathrm{ cm} $，$ EF $ 边上的中线 $ DG = 8 \mathrm{ cm} $。求证：$ △ DEF $ 是等腰三角形。

6. 证明:DG为三角形的中线,
则$EG = \frac{1}{2}EF = 15$.
∵ DG² + EG² = 64 + 225 = 289,
DE² = 17² = 289,
∴ DG² + EG² = DE²,
∴ ∠DGE = 90°,即DG垂直平分EF,
∴ DE = DF,
∴ △DEF是等腰三角形.

7. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 为 $ △ ABC $ 的三边，且满足 $ a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4 $，试判断 $ △ ABC $ 的形状。

7. 解:
∵ a²c² - b²c² = a⁴ - b⁴,
∴ c²(a² - b²) = (a² + b²)(a² - b²),
∴ a² - b² = 0或c² = a² + b²,
当a² - b² = 0时,a = b,
当c² = a² + b²时,∠C = 90°,
∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形.

1. 如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ E $ 为 $ CD $ 的中点，$ F $ 为 $ BC $ 上一点，且 $ CF = \frac{1}{4}BC $，求证：$ AE ⊥ EF $。

1. 证明:连接AF,设CF = a,
∴ DE = CE = 2a,
∴ AD = AB = 4a,BF = 3a,
由勾股定理得:
AE² = AD² + DE² = 20a²,EF² = 5a²,AF² = 25a²,则AE² + EF² = AF²
∴ ∠AEF = 90°,
∴ AE ⊥ EF.

2. 如图，$ A $，$ B $ 两个小镇相距 $ 60 \mathrm{ km} $，小山 $ C $ 在 $ A $ 镇的北偏东 $ 60° $ 方向，在 $ B $ 镇的北偏西 $ 30° $ 方向，经探测，发现小山周围 $ 20 \mathrm{ km} $ 的圆形区域内储有大量煤炭。有关部门规定，该区域禁止建房修路。现计划修筑连接 $ A $，$ B $ 两镇的一条笔直公路，试分析这条公路是否会经过该区域。（结果保留整数）

2. 解:过点C作CD ⊥ AB,垂足为D.
小山C在A镇北偏东60°方向,在B镇北偏向30°方向,
∴ ∠CAB = 30°,∠CBA = 60°,
∴ ∠ACB = 90°,
∴ △ACB是直角三角形.
在Rt△ACB中,∠CAB = 30°,AB = 60 km,
∴ BC = 30 km.
在Rt△BCD中,∠CBD = 60°,∠CDB = 90°,
∴ ∠BCD = 30°.
∵ BC = 30 km,
∴ BD = 15 km,
∴ $CD = \sqrt{BC^{2}-BD^{2}} = \sqrt{30^{2}-15^{2}} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3} \approx 26$ km ＞ 20 km,
∴ 公路AB不会通过该区域.