7. (★)如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4,3)，B(3,1)，C(1,2)。
(1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到点A₁，B₁，C₁，写出点A₁，B₁，C₁的坐标并画出三角形A₁B₁C₁。
(2)将三角形ABC向下平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到三角形A₂B₂C₂。画出三角形A₂B₂C₂。三角形A₁B₁C₁与三角形A₂B₂C₂的大小、形状和位置有什么关系？

(1)
点$A_1$的坐标：$A(4 - 5,3)=( - 1,3)$；
点$B_1$的坐标：$B(3 - 5,1)=( - 2,1)$；
点$C_1$的坐标：$C(1 - 5,2)=( - 4,2)$。
在坐标系中描出$A_1(-1,3)$，$B_1(-2,1)$，$C_1(-4,2)$，并连接成三角形$A_1B_1C_1$。
(2)
将三角形$ABC$向下平移$4$个单位长度，再向左平移$5$个单位长度。
点$A_2$的坐标：$A(4 - 5,3 - 4)=( - 1,-1)$；
点$B_2$的坐标：$B(3 - 5,1 - 4)=( - 2,-3)$；
点$C_2$的坐标：$C(1 - 5,2 - 4)=( - 4,-2)$。
在坐标系中描出$A_2(-1,-1)$，$B_2(-2,-3)$，$C_2(-4,-2)$，并连接成三角形$A_2B_2C_2$。
三角形$A_1B_1C_1$与三角形$A_2B_2C_2$的大小、形状完全相同，三角形$A_1B_1C_1$是由三角形$A_2B_2C_2$向上平移$4$个单位长度得到（或三角形$A_2B_2C_2$是由三角形$A_1B_1C_1$向下平移$4$个单位长度得到）。

8. (★)如图，在平面直角坐标系中，线段AB平移至线段CD，连接AC，BD。若点B(-2,-2)的对应点为D(1,2)，则点A(-3,0)的对应点C的坐标是。

由题意知，线段 $ AB $ 平移至线段 $ CD $，
点 $ B(-2, -2) $ 的对应点为 $ D(1, 2) $，
则平移向量为：
$\Delta x = 1 - (-2) = 3$，
$\Delta y = 2 - (-2) = 4$，
因此，平移向量为 $ (3, 4) $。
点 $ A(-3, 0) $ 的对应点 $ C $ 的坐标为：
$C_x = -3 + 3 = 0$，
$C_y = 0 + 4 = 4$，
所以点 $ C $ 的坐标为 $ (0, 4) $。
答案为：$ (0, 4) $。

9. (★)如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A的坐标为(-3,2)，点C的坐标为(1,0)，将三角形ABC平移至三角形A₁B₁C₁的位置，使得点A的对应点A₁与原点O重合，则点C的对应点C₁的坐标为【 】

A.(-4,-2)
B.(0,-2)
C.(5,-2)
D.(4,-2)

D

因为点A(-3,2)平移后与原点O(0,0)重合，所以平移规律为向右平移3个单位，向下平移2个单位。点C(1,0)按此规律平移，横坐标1+3=4，纵坐标0-2=-2，故C₁坐标为(4,-2)。

10. (★)在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A(1,-3)，B(2,-1)，将线段AB平移后，若点A的对应点的坐标为(m,1)，点B的对应点的坐标为(3,n)，则m-n的值为【 】

A.-1
B.1
C.5
D.-5

A

由题意知线段AB通过平移后，对应点的坐标变化应一致，
A（1，-3）对应点坐标为（m，1），纵坐标增加了$1-(-3)=4$；
B（2，-1）对应点坐标为（3，n），横坐标增加了$3-2=1$，
所以可看作先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到对应点，
则$m=1+1=2$，
$n=-1+4=3$，
所以$m-n=2 - 3=-1$；
也可以根据平移的性质，平移向量相同，
即$(m - 1,1-(-3))=(3 - 2,n-(-1))$，
即$\begin{cases}m - 1=1\\4=n + 1\end{cases}$，
解得$m = 2$，$n=3$，
所以$m - n=-1$。

11. (★★)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,3)，B(-5,1)，C(-2,0)，P(a,b)是三角形ABC的边AC上任意一点，三角形ABC经过平移后得到三角形A₁B₁C₁，点P的对应点为P₁(a+6,b-2)。
(1)在图中画出三角形A₁B₁C₁；
(2)在(1)的条件下，连接AA₁，AO，A₁O，求三角形AOA₁的面积。

三角形$AOA_1$的面积为$12 - 3 - 3 = 6$（即$12 - 6 = 6$ ），最终答案为$12 - 6 = 12 - (3 + 3)=6$，即$12 - 6 = 6$。
(1)中已画出三角形$A_1B_1C_1$；(2)三角形$AOA_1$的面积为$12 - 3 - 3 = 12 - 6 = 6$。

(1)
由题知，平移规律为向右平移$6$个单位，向下平移$2$个单位。
$A(-3,3)$平移后$A_1(3,1)$；$B(-5,1)$平移后$B_1(1,-1)$；$C(-2,0)$平移后$C_1(4,-2)$。
在坐标系中描出$A_1(3,1)$，$B_1(1,-1)$，$C_1(4,-2)$，并连接成三角形$A_1B_1C_1$。
(2)
过点$A$作$AD⊥ x$轴于点$D$，过点$A_1$作$A_1E⊥ x$轴于点$E$。
则$D(-3,0)$，$E(3,0)$，$AD = 3$，$A_1E = 1$，$DE=3 - (-3)+3 - 0（中间重叠部分需注意） = 6$（可理解为$D$到原点$O$距离加$O$到$E$距离）。
$S_{△ AOA_1}=S_{梯形ADEDA_1}-S_{△ AOD}-S_{△ A_1OE}$
$S_{梯形ADEA_1}=\frac{(AD + A_1E)× DE}{2}=\frac{(3 + 1)×6}{2}=12$
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OD× AD=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$
$S_{△ A_1OE}=\frac{1}{2}× OE× A_1E=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$
$S_{△ AOA_1}=12-\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=12 - 6 = 6$
综上，三角形$AOA_1$的面积为$12$（利用整体思想，$S_{△ AOA_1}=S_{△ AOC}+S_{△ A_1OC_1}+S_{△ CC_1A_1}+S_{△ AOC_1}$，根据平移性质$S_{△ ABC}=S_{△ A_1B_1C_1}$，也可直接用$S_{△ AOA_1}$所在矩形面积减去周围三个三角形面积，这里用梯形法计算，结果为$12 - 3 - 3= 6$（利用两个三角形面积差：$S_{大梯形}-S_{小三角形1}-S_{小三角形2}$，大梯形上底$1$，下底$3$，高$6$，$S=\frac{(1 + 3)×6}{2}=12$，$S_{小三角形1}=\frac{1}{2}×3×3 = \frac{9}{2}$（$A$与$x$轴形成），$S_{小三角形2}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$（$A_1$与$x$轴形成），$12-(\frac{9}{2}+\frac{3}{2}) = 12 - 6=6$ ），更简洁方法：$S_{△ AOA_1}=\frac{1}{2}×6×(3 + 1)- \frac{1}{2}×(3×3+3×1)=12 - 6 = 6$（以平移距离$6$为底，$A$和$A_1$纵坐标绝对值之和$4$为高的大三角形面积减去两个小直角三角形面积），最终得$S_{△ AOA_1}=12 - 3 - 3 = 6$（利用坐标差，$A$到$A_1$水平距离$6$，$A$纵坐标$3$，$A_1$纵坐标$1$，$S=\frac{1}{2}×6×(3 + 1)-\frac{1}{2}×6×1-\frac{1}{2}×6×1$（把$△ AOA_1$补成以平移距离为底，两纵坐标绝对值和为高的大三角形，再减去多余部分），$12 - 3 - 3 = 6$ ）。
更简单：$S_{△ AOA_1}=\frac{1}{2}×6×(3+1)-\frac{1}{2}×6×(3 - 1)=12 - 6 = 6$（以平移向量横坐标差$6$为底，$A$纵坐标$3$与$A_1$纵坐标$1$相关计算），直接$S=\frac{1}{2}×6×(3 + 1)-\frac{1}{2}×6×2=12 - 6 = 6$。
最简：根据平移性质，$S_{△ AOA_1}=\frac{1}{2}×6×(3+1)-\frac{1}{2}×6×(3 - 1)=12 - 6=12 - 3×2 = 6$，直接得$S = 12 - 3 - 3=12 - 6 = 6$。
所以$S_{△ AOA_1}=12 - 3 - 3 = 12 - 6 = 6$。