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1. 找规律，填数。
(1) $\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$，(
(2) 1，4，9，(
(1) $\frac{4}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$，(
$\dfrac{1}{10}$
)，$\frac{1}{20}$，($\dfrac{1}{40}$
)，($\dfrac{1}{80}$
)。(2) 1，4，9，(
16
)，(25
)，(36
)，49，(64
)。答案
1. (1)$\dfrac{1}{10}$ $\dfrac{1}{40}$ $\dfrac{1}{80}$ (2)16 25 36 64
解析
【分析】
(1) 观察这组分数，从左到右后一个数都是前一个数的$\frac{1}{2}$，即前一个数除以2得到后一个数，我们可以依次用前一个数除以2计算空缺的数；
(2) 观察这组整数，1是$1^2$，4是$2^2$，9是$3^2$，可发现每个数都是其所在位置序号的平方，按照这个规律就能算出空缺的数。
【解析】
(1)
$\frac{1}{5} ÷ 2 = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{20} ÷ 2 = \frac{1}{40}$
$\frac{1}{40} ÷ 2 = \frac{1}{80}$
因此空缺处依次为$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{40}$，$\frac{1}{80}$；
(2)
第4个数：$4^2 = 16$
第5个数：$5^2 = 25$
第6个数：$6^2 = 36$
第8个数：$8^2 = 64$
因此空缺处依次为16，25，36，64。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{10}$，$\dfrac{1}{40}$，$\dfrac{1}{80}$；(2) 16，25，36，64
【知识点】
1. 分数递推规律
2. 平方数规律
【点评】
本题考查数字规律的探索，需要通过观察相邻数的运算关系或数字自身特征归纳规律，锻炼学生的观察与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察这组分数，从左到右后一个数都是前一个数的$\frac{1}{2}$，即前一个数除以2得到后一个数，我们可以依次用前一个数除以2计算空缺的数；
(2) 观察这组整数，1是$1^2$，4是$2^2$，9是$3^2$，可发现每个数都是其所在位置序号的平方，按照这个规律就能算出空缺的数。
【解析】
(1)
$\frac{1}{5} ÷ 2 = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{20} ÷ 2 = \frac{1}{40}$
$\frac{1}{40} ÷ 2 = \frac{1}{80}$
因此空缺处依次为$\frac{1}{10}$，$\frac{1}{40}$，$\frac{1}{80}$；
(2)
第4个数：$4^2 = 16$
第5个数：$5^2 = 25$
第6个数：$6^2 = 36$
第8个数：$8^2 = 64$
因此空缺处依次为16，25，36，64。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{10}$，$\dfrac{1}{40}$，$\dfrac{1}{80}$；(2) 16，25，36，64
【知识点】
1. 分数递推规律
2. 平方数规律
【点评】
本题考查数字规律的探索，需要通过观察相邻数的运算关系或数字自身特征归纳规律，锻炼学生的观察与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
2. 用黑、白两种颜色的球排成一排，如图
第18个球是(
第18个球是(白
)颜色，在前100个球里，共有(67
)个黑色球。答案
2. 白 67
解析
【分析】
首先观察球的排列规律，可发现是“2黑1白”3个球为一个循环周期重复出现。要判断第18个球的颜色，需先计算18包含几个完整周期，根据除法结果的余数（无余数则对应周期最后一个球）确定颜色；计算前100个球中的黑球数量，先算出100里有多少个完整周期，再结合余下球中的黑球数量，将完整周期的黑球数与余下的黑球数相加即可。
【解析】
1. 确定循环周期：
观察排列可知，球的排列以“黑、黑、白”为一个周期，周期长度为3，每个周期包含2个黑球、1个白球。
2. 判断第18个球的颜色：
计算周期数：$18÷3=6$（组），无余数，说明第18个球是第6个周期的最后一个球，对应周期内最后一个球为白色，因此第18个球是白色。
3. 计算前100个球中的黑球数量：
计算周期数与余数：$100÷3=33$（组）$\dots\dots1$（个），即包含33个完整周期，还剩余1个球。
每个周期有2个黑球，33个周期的黑球数为：$33×2=66$（个）
剩余的1个球是周期的第一个球，为黑色，因此总黑球数为：$66+1=67$（个）
【答案】
白；67
【知识点】
周期循环问题、找规律
【点评】
本题属于典型的周期循环类题目，解题核心是准确识别循环周期，再利用除法运算确定周期数与余数，结合周期内元素的特征计算目标量。解题时需注意余数对应的元素位置，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
首先观察球的排列规律，可发现是“2黑1白”3个球为一个循环周期重复出现。要判断第18个球的颜色，需先计算18包含几个完整周期，根据除法结果的余数（无余数则对应周期最后一个球）确定颜色；计算前100个球中的黑球数量，先算出100里有多少个完整周期，再结合余下球中的黑球数量，将完整周期的黑球数与余下的黑球数相加即可。
【解析】
1. 确定循环周期：
观察排列可知，球的排列以“黑、黑、白”为一个周期，周期长度为3，每个周期包含2个黑球、1个白球。
2. 判断第18个球的颜色：
计算周期数：$18÷3=6$（组），无余数，说明第18个球是第6个周期的最后一个球，对应周期内最后一个球为白色，因此第18个球是白色。
3. 计算前100个球中的黑球数量：
计算周期数与余数：$100÷3=33$（组）$\dots\dots1$（个），即包含33个完整周期，还剩余1个球。
每个周期有2个黑球，33个周期的黑球数为：$33×2=66$（个）
剩余的1个球是周期的第一个球，为黑色，因此总黑球数为：$66+1=67$（个）
【答案】
白；67
【知识点】
周期循环问题、找规律
【点评】
本题属于典型的周期循环类题目，解题核心是准确识别循环周期，再利用除法运算确定周期数与余数，结合周期内元素的特征计算目标量。解题时需注意余数对应的元素位置，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 如右图，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按照这种方式摆下去，当$n = 5$时，共需要火柴棍(
45
)根。答案
3. 45
解析
【分析】
首先观察前几个图案的火柴棍数量，推导规律：
当$n=1$时，图案为1个小三角形，需3根火柴，即$3×1$；
当$n=2$时，图案由4个小三角形组成，需9根火柴，即$3×(1+2)$；
当$n=3$时，图案由9个小三角形组成，需18根火柴，即$3×(1+2+3)$；
由此可归纳出第$n$个图案所需火柴棍总数为3乘以从1到$n$的自然数之和，再代入$n=5$计算即可。
【解析】
1. 推导规律公式：
$n=1$时，火柴棍数量：$3=3×1$
$n=2$时，火柴棍数量：$3+6=9=3×(1+2)$
$n=3$时，火柴棍数量：$3+6+9=18=3×(1+2+3)$
由此可得，第$n$个图案所需火柴棍总数的公式为：
$S_n=3×(1+2+3+…+n)=3×\frac{n(n+1)}{2}$
2. 代入$n=5$计算：
将$n=5$代入公式：
$S_5=3×\frac{5×(5+1)}{2}=3×\frac{30}{2}=3×15=45$
【答案】
45
【知识点】
图形规律探究，自然数求和
【点评】
本题考查归纳推理能力，需要通过观察前几个图案的火柴棍数量，总结出通用规律公式，再代入数值计算，重点在于发现图形变化与火柴棍数量的内在联系。
【难度系数】
0.6
首先观察前几个图案的火柴棍数量，推导规律：
当$n=1$时，图案为1个小三角形，需3根火柴，即$3×1$；
当$n=2$时，图案由4个小三角形组成，需9根火柴，即$3×(1+2)$；
当$n=3$时，图案由9个小三角形组成，需18根火柴，即$3×(1+2+3)$；
由此可归纳出第$n$个图案所需火柴棍总数为3乘以从1到$n$的自然数之和，再代入$n=5$计算即可。
【解析】
1. 推导规律公式：
$n=1$时，火柴棍数量：$3=3×1$
$n=2$时，火柴棍数量：$3+6=9=3×(1+2)$
$n=3$时，火柴棍数量：$3+6+9=18=3×(1+2+3)$
由此可得，第$n$个图案所需火柴棍总数的公式为：
$S_n=3×(1+2+3+…+n)=3×\frac{n(n+1)}{2}$
2. 代入$n=5$计算：
将$n=5$代入公式：
$S_5=3×\frac{5×(5+1)}{2}=3×\frac{30}{2}=3×15=45$
【答案】
45
【知识点】
图形规律探究，自然数求和
【点评】
本题考查归纳推理能力，需要通过观察前几个图案的火柴棍数量，总结出通用规律公式，再代入数值计算，重点在于发现图形变化与火柴棍数量的内在联系。
【难度系数】
0.6
4. 把表填写完整。
答案
4.
解析
【分析】
首先观察表格中的已知数据：三角形（边数3）内角和为$180°×1$，这里$1=3-2$；四边形（边数4）内角和为$180°×2$，这里$2=4-2$；五边形（边数5）内角和为$180°×3$，这里$3=5-2$。由此可以归纳出规律：$n$边形的内角和$=180°×(n-2)$（$n≥3$且$n$为整数）。接下来我们利用这个规律计算边数为6的多边形内角和。
【解析】
根据归纳的规律：$n$边形内角和$=180°×(n-2)$，当$n=6$时，
内角和$=180°×(6-2)=180°×4$。
【答案】
边数为6的多边形内角和填$\boldsymbol{180°×4}$
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题通过表格数据引导学生归纳多边形内角和的规律，重点考查观察归纳能力，掌握多边形内角和与边数的关系是解题核心，有助于加深对多边形内角和公式的理解。
【难度系数】
0.8
首先观察表格中的已知数据：三角形（边数3）内角和为$180°×1$，这里$1=3-2$；四边形（边数4）内角和为$180°×2$，这里$2=4-2$；五边形（边数5）内角和为$180°×3$，这里$3=5-2$。由此可以归纳出规律：$n$边形的内角和$=180°×(n-2)$（$n≥3$且$n$为整数）。接下来我们利用这个规律计算边数为6的多边形内角和。
【解析】
根据归纳的规律：$n$边形内角和$=180°×(n-2)$，当$n=6$时，
内角和$=180°×(6-2)=180°×4$。
【答案】
边数为6的多边形内角和填$\boldsymbol{180°×4}$
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题通过表格数据引导学生归纳多边形内角和的规律，重点考查观察归纳能力，掌握多边形内角和与边数的关系是解题核心，有助于加深对多边形内角和公式的理解。
【难度系数】
0.8
5. 图(1)是棱长为$a$的小正方体，图(2)、图(3)均是由这样的小正方体摆放而成的，按照这样的方法继续摆，由上而下分别叫第一层，第二层……第$n$层，第$n$层的小正方体的个数为$s$，解答下列问题：
(1) 按照要求填表。
(2) 当$n = 10$，$s =$ (
(1) 按照要求填表。
(2) 当$n = 10$，$s =$ (
100
)。答案
5. (1)16 (2)100
解析
【分析】
首先我们通过观察图形推导规律：
1. 当$n=1$（第一层）时，小正方体个数$s=1=1^2$；
2. 当$n=2$（前两层）时，小正方体总数$s=1+3=4=2^2$；
3. 当$n=3$（前三层）时，小正方体总数$s=1+3+5=9=3^2$；
由此可归纳出规律：前$n$层的小正方体总数$s$等于$n$的平方，即$s=n^2$。后续根据该规律即可完成填表和计算$n=10$时的$s$值。
【解析】
(1) 根据规律$s=n^2$，当$n=4$时，$s=4^2=16$；
(2) 当$n=10$时，$s=10^2=100$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{100}$
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 有理数乘方
【点评】
本题核心考查图形规律的探究能力，需要通过观察前几层小正方体的数量变化，归纳出通用的数学表达式，将直观的图形问题转化为代数计算问题，重点培养学生的观察、归纳与转化思维。
【难度系数】
0.7
首先我们通过观察图形推导规律：
1. 当$n=1$（第一层）时，小正方体个数$s=1=1^2$；
2. 当$n=2$（前两层）时，小正方体总数$s=1+3=4=2^2$；
3. 当$n=3$（前三层）时，小正方体总数$s=1+3+5=9=3^2$；
由此可归纳出规律：前$n$层的小正方体总数$s$等于$n$的平方，即$s=n^2$。后续根据该规律即可完成填表和计算$n=10$时的$s$值。
【解析】
(1) 根据规律$s=n^2$，当$n=4$时，$s=4^2=16$；
(2) 当$n=10$时，$s=10^2=100$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{100}$
【知识点】
1. 图形规律探究
2. 有理数乘方
【点评】
本题核心考查图形规律的探究能力，需要通过观察前几层小正方体的数量变化，归纳出通用的数学表达式，将直观的图形问题转化为代数计算问题，重点培养学生的观察、归纳与转化思维。
【难度系数】
0.7
