登录
甲、乙两人生产某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 5 个零件，甲做 90 个零件所用的时间与乙做 60 个零件所用的时间相等. 甲、乙每小时各做多少个零件？
答案
设乙每小时做$x$个零件，则甲每小时做$(x + 5)$个零件。
根据题意，甲做90个零件所用时间与乙做60个零件所用时间相等，可列方程：$\frac{90}{x + 5} = \frac{60}{x}$。
方程两边同乘$x(x + 5)$，得$90x = 60(x + 5)$。
展开得$90x = 60x + 300$。
移项、合并同类项得$30x = 300$，解得$x = 10$。
检验：当$x = 10$时，$x(x + 5) = 10×15 = 150 ≠ 0$，所以$x = 10$是原方程的解。
则甲每小时做$x + 5 = 10 + 5 = 15$个。
答：甲每小时做15个零件，乙每小时做10个零件。
根据题意，甲做90个零件所用时间与乙做60个零件所用时间相等，可列方程：$\frac{90}{x + 5} = \frac{60}{x}$。
方程两边同乘$x(x + 5)$，得$90x = 60(x + 5)$。
展开得$90x = 60x + 300$。
移项、合并同类项得$30x = 300$，解得$x = 10$。
检验：当$x = 10$时，$x(x + 5) = 10×15 = 150 ≠ 0$，所以$x = 10$是原方程的解。
则甲每小时做$x + 5 = 10 + 5 = 15$个。
答：甲每小时做15个零件，乙每小时做10个零件。
例 解方程：$\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x}$.
答案
① 方程两边同乘 $x(x - 3)$ 以去分母，得：
$2x = 3(x - 3)$，
② 展开并整理，得：
$2x = 3x - 9$，
③ 移项，得：
$-x = -9$，
④ 解得：
$x = 9$。
⑤ 检验：将 $x = 9$ 代入原方程的分母，得：
$x(x - 3) = 9 × (9 - 3) = 54 ≠ 0$，
因分母不为0，所以 $x = 9$ 是原方程的解。
所以，原方程的解为 $x = 9$。
$2x = 3(x - 3)$，
② 展开并整理，得：
$2x = 3x - 9$，
③ 移项，得：
$-x = -9$，
④ 解得：
$x = 9$。
⑤ 检验：将 $x = 9$ 代入原方程的分母，得：
$x(x - 3) = 9 × (9 - 3) = 54 ≠ 0$，
因分母不为0，所以 $x = 9$ 是原方程的解。
所以，原方程的解为 $x = 9$。
(1)下列方程中，是分式方程的有(填序号).
① $\frac{1}{2} + x = \frac{x}{3}$；② $\frac{1}{y} = 3$；③ $\frac{5}{x + 1} = \frac{6}{x}$；④ $\frac{x^2}{2} - 2x = \frac{1}{3}$.
① $\frac{1}{2} + x = \frac{x}{3}$；② $\frac{1}{y} = 3$；③ $\frac{5}{x + 1} = \frac{6}{x}$；④ $\frac{x^2}{2} - 2x = \frac{1}{3}$.
答案
②③
解析
分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
①方程$\frac{1}{2} + x = \frac{x}{3}$的分母中不含有未知数，是整式方程，不是分式方程；
②方程$\frac{1}{y} = 3$的分母中含有未知数$y$，是分式方程；
③方程$\frac{5}{x + 1} = \frac{6}{x}$的分母中含有未知数$x$，是分式方程；
④方程$\frac{x^2}{2} - 2x = \frac{1}{3}$的分母中不含有未知数，是整式方程，不是分式方程。
故是分式方程的有②③。
①方程$\frac{1}{2} + x = \frac{x}{3}$的分母中不含有未知数，是整式方程，不是分式方程；
②方程$\frac{1}{y} = 3$的分母中含有未知数$y$，是分式方程；
③方程$\frac{5}{x + 1} = \frac{6}{x}$的分母中含有未知数$x$，是分式方程；
④方程$\frac{x^2}{2} - 2x = \frac{1}{3}$的分母中不含有未知数，是整式方程，不是分式方程。
故是分式方程的有②③。
(2)解分式方程$\frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{3}{x - 2}$去分母时，两边同乘的最简公分母是.
答案
$x(x - 2)$
(3)分式方程去分母转化为整式方程的依据是.
答案
等式的基本性质2（等式两边乘同一个不为0的整式，结果仍相等）
2. 解下列方程：
（1）$\frac{3}{x} = \frac{2}{x - 1}$；
（2）$\frac{480}{y} - \frac{600}{2y} = 45$；
（3）$\frac{4x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{2 - x}$；
（4）$\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3(x + 1)} + 1$.
（1）$\frac{3}{x} = \frac{2}{x - 1}$；
（2）$\frac{480}{y} - \frac{600}{2y} = 45$；
（3）$\frac{4x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{2 - x}$；
（4）$\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3(x + 1)} + 1$.
答案
(1) $x = 3$
(2) $y = 4$
(3) $x = -\frac{5}{3}$
(4) $x = -\frac{3}{2}$
(2) $y = 4$
(3) $x = -\frac{5}{3}$
(4) $x = -\frac{3}{2}$
解析
(1) 对于方程 $\frac{3}{x} = \frac{2}{x - 1}$：
首先去分母，两边同时乘以 $x(x - 1)$，得到：
$3(x - 1) = 2x$，
展开并整理得：
$3x - 3 = 2x$，
进一步整理，得到：
$x = 3$，
经检验，$x = 3$ 是原方程的解。
(2) 对于方程 $\frac{480}{y} - \frac{600}{2y} = 45$：
首先将其化为：
$\frac{480}{y} - \frac{300}{y} = 45$，
合并同类项，得到：
$\frac{180}{y} = 45$，
进一步整理，得到：
$y = 4$，
经检验，$y = 4$ 是原方程的解。
(3) 对于方程 $\frac{4x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{2 - x}$：
首先将其化为：
$\frac{4x}{x - 2} - 1 = -\frac{3}{x - 2}$，
然后去分母，两边同时乘以 $x - 2$，得到：
$4x - (x - 2) = -3$，
展开并整理得：
$4x - x + 2 = -3$，
进一步整理，得到：
$3x = -5$，
$x = -\frac{5}{3}$，
经检验，$x = -\frac{5}{3}$ 是原方程的解。
(4) 对于方程 $\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3(x + 1)} + 1$：
首先去分母，两边同时乘以 $3(x + 1)$，得到：
$3x = 2x + 3(x + 1)$，
展开并整理得：
$3x = 2x + 3x + 3$，
进一步整理，得到：
$-2x = 3$，
$x = -\frac{3}{2}$，
经检验，$x = -\frac{3}{2}$ 是原方程的解。
首先去分母，两边同时乘以 $x(x - 1)$，得到：
$3(x - 1) = 2x$，
展开并整理得：
$3x - 3 = 2x$，
进一步整理，得到：
$x = 3$，
经检验，$x = 3$ 是原方程的解。
(2) 对于方程 $\frac{480}{y} - \frac{600}{2y} = 45$：
首先将其化为：
$\frac{480}{y} - \frac{300}{y} = 45$，
合并同类项，得到：
$\frac{180}{y} = 45$，
进一步整理，得到：
$y = 4$，
经检验，$y = 4$ 是原方程的解。
(3) 对于方程 $\frac{4x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{2 - x}$：
首先将其化为：
$\frac{4x}{x - 2} - 1 = -\frac{3}{x - 2}$，
然后去分母，两边同时乘以 $x - 2$，得到：
$4x - (x - 2) = -3$，
展开并整理得：
$4x - x + 2 = -3$，
进一步整理，得到：
$3x = -5$，
$x = -\frac{5}{3}$，
经检验，$x = -\frac{5}{3}$ 是原方程的解。
(4) 对于方程 $\frac{x}{x + 1} = \frac{2x}{3(x + 1)} + 1$：
首先去分母，两边同时乘以 $3(x + 1)$，得到：
$3x = 2x + 3(x + 1)$，
展开并整理得：
$3x = 2x + 3x + 3$，
进一步整理，得到：
$-2x = 3$，
$x = -\frac{3}{2}$，
经检验，$x = -\frac{3}{2}$ 是原方程的解。
