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例1 (2023泰州兴化一模)如图ZT - 6 - 1所示为某电热毯的简化电路图,电源电压保持不变,$R_1$是电热毯加热的电热丝，$R_2$是定值电阻,该电热毯的额定电压为220V,当开关$S_1$、$S_2$闭合时，电热毯处于高温加热状态,此时的电功率为110W;当只闭合开关$S_1$时，电热毯处于保温状态.
(1)求电热丝$R_1$的阻值.
(2)求该电热毯正常工作处于高温加热状态时，30min消耗的电能为多少焦耳.
(3)若$R_2 = 1760\ \Omega$，求保温5min，$R_2$产生的热量.
(1)求电热丝$R_1$的阻值.
(2)求该电热毯正常工作处于高温加热状态时，30min消耗的电能为多少焦耳.
(3)若$R_2 = 1760\ \Omega$，求保温5min，$R_2$产生的热量.
答案
(1)$440\ \Omega$ (2)$1.98\times10^{5}\ J$
(3)$5280\ J$
(3)$5280\ J$
[思维导图]
a. 当开关$S_1$闭合、$S_2$断开时，电路为__________，电路的总电阻$R=$__________，此时电热毯消耗的电功率$P=$__________，电路的总电阻较__________，所以电功率较__________，电热毯处于__________状态.
b. 当开关$S_1$、$S_2$都闭合时，电阻$R_2$__________，电路为__________的简单电路，此时电热毯消耗的电功率$P'=$__________，电路的总电阻较__________，所以电功率较__________，电热毯处于__________状态.
a. 当开关$S_1$闭合、$S_2$断开时，电路为__________，电路的总电阻$R=$__________，此时电热毯消耗的电功率$P=$__________，电路的总电阻较__________，所以电功率较__________，电热毯处于__________状态.
b. 当开关$S_1$、$S_2$都闭合时，电阻$R_2$__________，电路为__________的简单电路，此时电热毯消耗的电功率$P'=$__________，电路的总电阻较__________，所以电功率较__________，电热毯处于__________状态.
答案
a. $R_{1}$和$R_{2}$串联的电路 $R_{1}+R_{2}$
$\frac{U^{2}}{R_{1}+R_{2}}$ 大 小 保温
b. 短路 $R_{1}$ $\frac{U^{2}}{R_{1}}$ 小 大 高温加热
$\frac{U^{2}}{R_{1}+R_{2}}$ 大 小 保温
b. 短路 $R_{1}$ $\frac{U^{2}}{R_{1}}$ 小 大 高温加热
1. (2023宿迁泗洪模拟)小亮家新买了一辆汽车,车上的座椅垫具有电加热功能，如图ZT - 6 - 2 甲所示.通过观察和研究,他了解到该座椅垫有“高温”“低温”和“关”三个挡位“高温”挡功率为36W,“低温”挡功率为18W.该座椅垫加热部分的电路简图如图乙所示,电源电压为24V,S为挡位切换开关.$R_1$和$R_2$为电热丝.通过计算回答:
(1)当座椅垫处于“低温”挡加热时，电热丝$R_2$ 的阻值是多少欧？
(2)当座椅垫处于“低温”挡加热时，电热丝$R_2$ 的电功率是多少？
(3)当座椅垫处于“低温”挡加热时，座椅垫工作5min,$R_1$产生的热量是多少焦？
(1)当座椅垫处于“低温”挡加热时，电热丝$R_2$ 的阻值是多少欧？
(2)当座椅垫处于“低温”挡加热时，电热丝$R_2$ 的电功率是多少？
(3)当座椅垫处于“低温”挡加热时，座椅垫工作5min,$R_1$产生的热量是多少焦？
答案
(1)由图乙知，“低温”挡时两电阻串联，“高温”挡时只有$R_{1}$工作，
根据$P = \frac{U^{2}}{R}$知，电热丝$R_{1}$的阻值：
$R_{1}=\frac{U^{2}}{P_{高温}}=\frac{(24\ V)^{2}}{36\ W}=16\ \Omega$；
电热丝$R_{1}$、$R_{2}$串联的总电阻：
$R=\frac{U^{2}}{P_{低温}}=\frac{(24\ V)^{2}}{18\ W}=32\ \Omega$，
由串联电路的电阻规律知，电热丝$R_{2}$的阻值：
$R_{2}=R - R_{1}=32\ \Omega - 16\ \Omega = 16\ \Omega$。
(2)根据$P = UI$知，座椅垫处于“低温”挡加热时的电流：
$I=\frac{P_{低温}}{U}=\frac{18\ W}{24\ V}=0.75\ A$，
此时电热丝$R_{2}$的电功率：$P_{2}=I^{2}R_{2}=(0.75\ A)^{2}\times16\ \Omega = 9\ W$。
(3)当座椅垫处于“低温”挡加热时，座椅垫工作$5\ min$，$R_{1}$产生的热量：
$Q_{1}=I^{2}R_{1}t=(0.75\ A)^{2}\times16\ \Omega\times5\times60\ s = 2700\ J$。
根据$P = \frac{U^{2}}{R}$知，电热丝$R_{1}$的阻值：
$R_{1}=\frac{U^{2}}{P_{高温}}=\frac{(24\ V)^{2}}{36\ W}=16\ \Omega$；
电热丝$R_{1}$、$R_{2}$串联的总电阻：
$R=\frac{U^{2}}{P_{低温}}=\frac{(24\ V)^{2}}{18\ W}=32\ \Omega$，
由串联电路的电阻规律知，电热丝$R_{2}$的阻值：
$R_{2}=R - R_{1}=32\ \Omega - 16\ \Omega = 16\ \Omega$。
(2)根据$P = UI$知，座椅垫处于“低温”挡加热时的电流：
$I=\frac{P_{低温}}{U}=\frac{18\ W}{24\ V}=0.75\ A$，
此时电热丝$R_{2}$的电功率：$P_{2}=I^{2}R_{2}=(0.75\ A)^{2}\times16\ \Omega = 9\ W$。
(3)当座椅垫处于“低温”挡加热时，座椅垫工作$5\ min$，$R_{1}$产生的热量：
$Q_{1}=I^{2}R_{1}t=(0.75\ A)^{2}\times16\ \Omega\times5\times60\ s = 2700\ J$。
例2 (2022苏州期末)如图ZT - 6 - 3甲所示是常用的3D打印笔，它通过加热，挤出热熔的塑料，然后在空气中迅速冷却,最后凝固成形.此打印笔有快慢两挡，其内部简化电路如图乙所示，$R_1$、$R_2$是用于发热的电阻,下表是该款3D打印笔的相关参数.求:
(1)该打印笔在快挡打印状态下的工作电流
(2)$R_1$的阻值.
(3)某次使用快挡打印,共将33g的塑料条从20℃加热到220℃，完成这次打印所需的时间.
[塑料条的比热容为$1.5×10^3\ J/(kg·℃)$]
(1)该打印笔在快挡打印状态下的工作电流
(2)$R_1$的阻值.
(3)某次使用快挡打印,共将33g的塑料条从20℃加热到220℃，完成这次打印所需的时间.
[塑料条的比热容为$1.5×10^3\ J/(kg·℃)$]
答案
由图可知，只闭合开关S时，电路为$R_{1}$的简单电路；同时闭合开关S、$S_{1}$时，$R_{1}$、$R_{2}$并联；
因为并联电路的总电阻比任意一个并联电阻都小，所以，同时闭合开关S、$S_{1}$时，电路的总电阻最小，
由$P = \frac{U^{2}}{R}$知，电压一定的情况下，电阻越小，消耗的电功率越大，则只闭合开关S时为慢挡打印，同时闭合开关S、$S_{1}$时为快挡打印。
(1)快挡打印时，通过电路的电流为$I_{快}=\frac{P_{快}}{U}=\frac{66\ W}{220\ V}=0.3\ A$。
(2)慢挡打印时，通过电路的电流为$I_{慢}=\frac{P_{慢}}{U}=\frac{22\ W}{220\ V}=0.1\ A$；
$R_{1}$的阻值：$R_{1}=\frac{U}{I_{慢}}=\frac{220\ V}{0.1\ A}=2200\ \Omega$。
(3)塑料条从$20\ ^{\circ}C$加热到$220\ ^{\circ}C$吸收的热量：
$Q_{吸}=cm(t - t_{0})=1.5\times10^{3}\ J/(kg\cdot^{\circ}C)\times33\times10^{-3}\ kg\times(220\ ^{\circ}C - 20\ ^{\circ}C)=9900\ J$；
由效率公式$\eta=\frac{Q_{吸}}{W}$知，使用快挡打印时消耗的电能：$W=\frac{Q_{吸}}{\eta}=\frac{9900\ J}{75\%}=13200\ J$，
根据$P = \frac{W}{t}$知，完成这次打印所需的时间：$t_{时}=\frac{W}{P_{快}}=\frac{13200\ J}{66\ W}=200\ s$。
因为并联电路的总电阻比任意一个并联电阻都小，所以，同时闭合开关S、$S_{1}$时，电路的总电阻最小，
由$P = \frac{U^{2}}{R}$知，电压一定的情况下，电阻越小，消耗的电功率越大，则只闭合开关S时为慢挡打印，同时闭合开关S、$S_{1}$时为快挡打印。
(1)快挡打印时，通过电路的电流为$I_{快}=\frac{P_{快}}{U}=\frac{66\ W}{220\ V}=0.3\ A$。
(2)慢挡打印时，通过电路的电流为$I_{慢}=\frac{P_{慢}}{U}=\frac{22\ W}{220\ V}=0.1\ A$；
$R_{1}$的阻值：$R_{1}=\frac{U}{I_{慢}}=\frac{220\ V}{0.1\ A}=2200\ \Omega$。
(3)塑料条从$20\ ^{\circ}C$加热到$220\ ^{\circ}C$吸收的热量：
$Q_{吸}=cm(t - t_{0})=1.5\times10^{3}\ J/(kg\cdot^{\circ}C)\times33\times10^{-3}\ kg\times(220\ ^{\circ}C - 20\ ^{\circ}C)=9900\ J$；
由效率公式$\eta=\frac{Q_{吸}}{W}$知，使用快挡打印时消耗的电能：$W=\frac{Q_{吸}}{\eta}=\frac{9900\ J}{75\%}=13200\ J$，
根据$P = \frac{W}{t}$知，完成这次打印所需的时间：$t_{时}=\frac{W}{P_{快}}=\frac{13200\ J}{66\ W}=200\ s$。
