9. 如图，在□ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N，则CN=.

(第9题)

7

10. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，点E在CB的延长线上，AF//BC，交ED的延长线于点F，EF交AC于点G. 若CG:GA=3:1，BC=8，求AF的长.

(第10题)

解：∵​AF//BC​
∴​∠F=∠E​
∵点​D​是​AB​的中点
∴​AD=BD​
在​△ADF ​和​△BDE​中
$​ \begin{cases}{∠F=∠E}\\{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\end{cases}​$
∴$​△ADF≌△BDE(\mathrm {AAS})​$
∴​AF=BE​
设​AF=BE=x，​则​CE=BC+BE=8+x​
∵​∠F=∠E，​​∠AGF=∠CGE​
∴​△AGF∽△CGE​
∴$​\frac {AF}{CE}=\frac {GA}{CG}=\frac 13​$
∴$​\frac x{8+x}=\frac 13​$
解得​x=4​
∴​AF=4​

11. 如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E在DB的延长线上，∠EAB=∠ADB.
(1)AE与⊙O相切吗？为什么？
(2)若B是EF的中点，判断以A、B、C为顶点的三角形与△AEF是否相似，并说明理由.
(3)已知AF=4，CF=2，在第(1)题的条件下，求AE的长.

(第11题)

解：​(1)​相切，理由如下
连接​BC​
∵​∠EAB=∠ADB​
∴​∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠ADB+∠BAC=∠ACB+∠BAC​
∵​AC​是$​\odot O​$的直径
∴​∠ABC=90°​
∴​∠EAC=∠ACB+∠BAC=90°​
∴​AE​与$​\odot O​$相切
解:​(2)​相似，理由如下：
∵​△AEF​是直角三角形，点​B​是​EF​的中点
∴​BA=BF​
∴​∠BAC=∠AFE​
∵​∠EAF=∠ABC=90°​
∴​△AEF∽△BCA​

12. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，PQ//AB，分别交两边AC、BC于点P、Q.
(1)△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长.
(2)△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长.
(3)在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出PQ的长.

(第12题)

​解:(3)​分两种情况
①过点​P​作​PM⊥AB，​垂足为点​M，​
要使​△PQM​为等腰直角三角形，
则​PM=PQ​

∵​△PQC∽△ABC，​​PM=PQ​
∴$​\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-PM}{\frac {12}{5}}=\frac {\frac {12}{5}-PQ}{\frac {12}{5}}​$
∴$​PQ=\frac {60}{37}​$
②当​∠PMQ=90°​时，
要使​△PQM​为等腰直角三角形，
则有$​\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-\frac 12PQ}{\frac {12}{5}}​$
解得$​PQ=\frac {120}{49}​$
综上所述，​PQ​的长为$​\frac {60}{37}​$或$​\frac {120}{49}​$