1. 如图1-2-9，在 $ △ A B C $中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件： $ \textcircled{1} ∠1=∠2 $ $ \textcircled{2} ∠3=∠4 $ $ \textcircled{3} BE=CD。 $
(1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定 $ △ ABC $是等腰三角形？（用序号写出所有情形）
(2) 选择（1）中的一种情形，证明 $ △ ABC $是等腰三角形。

1. (1)解：由①③和②③都可以判定$△ ABC$是等腰三角形。
(2)选择①③。
证明：在$△ BOE$和$△ COD$中，
$\because ∠ 1=∠ 2$，$∠ BOE=∠ COD$，$BE=CD$，
$\therefore △ BOE≌△ COD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BO=CO$。$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$。
$\therefore ∠ 1+∠ OBC=∠ 2+∠ OCB$，
即$∠ ABC=∠ ACB$。
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
选择②③。
证明：在$△ BOE$和$△ COD$中，
$\because ∠ 3=∠ 4$，$∠ BOE=∠ COD$，$BE=CD$，
$\therefore △ BOE≌△ COD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore ∠ 1=∠ 2$，$BO=CO$。
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$。
$\therefore ∠ 1+∠ OBC=∠ 2+∠ OCB$，
即$∠ ABC=∠ ACB$。
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。

2. 如图1-2-10，在 $ △ A B C $中，点D在BC边上，且 $ ∠ A D B=9 0°+\frac{1}{2}∠ C A D。 $
(1) 求证： $ AD=AC $；
(2) 若点 E在 AB边上，连接CE交AD于点F，且 $ ∠ C F D=∠ C A B $ ，AE=BD，求 $ ∠ A B C $的度数。

2. (1)证明：$\because ∠ ADB=∠ ACB+∠ CAD$，
$∠ ADB=90°+\frac{1}{2}∠ CAD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ADB-∠ CAD=90°-\frac{1}{2}∠ CAD$。
$\because ∠ ADB+∠ CDA=180°$，
$\therefore ∠ CDA=180°-∠ ADB=180°-(90°+\frac{1}{2}∠ CAD)=90°-\frac{1}{2}∠ CAD$。
$\therefore ∠ ACB=∠ ADC$。$\therefore AD=AC$。
(2)解：如答图1-2-3，过点$D$作
$DG// CE$交$AB$于点$G$。

$\because ∠ CFD=∠ CAB$，$∠ CFD=∠ CAD+∠ ACE$，$∠ CAB=∠ CAD+∠ DAB$，
$\therefore ∠ ACE=∠ DAB$。
$\because ∠ ACD=∠ ADC$，$∠ ECB=∠ ACD-∠ ACE$，$∠ B=∠ ADC-∠ DAB$，
$\therefore ∠ ECB=∠ B$。
$\because DG// CE$，
$\therefore ∠ AEC=∠ DGA$，$∠ ECB=∠ BDG$。
$\therefore ∠ BDG=∠ B$。$\therefore DG=BG$。
又$\because AC=DA$，$∠ ACE=∠ DAG$，
$\therefore △ AEC≌△ DGA(\mathrm{AAS})$。$\therefore DG=AE$。
又$\because AE=BD$，$\therefore BG=DG=BD$，
$\therefore △ BDG$为等边三角形，$\therefore ∠ ABC=60°$。

3. 如图1-2-11，在 $ △ A B C $中， $ ∠ B=90° $ $ AB=16 \mathrm{~cm} $ $ BC=12 \mathrm{~cm} $ $ AC=20 \mathrm{~cm} $ P，Q是 $ △ A B C $边上的两个动点，其中点P从点A开始沿 $ A \to B $运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿 $ B \to C \to A $运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为 t s。
(1) $ B P= $ ___。（用含 t 的代数式表示）
(2) 当点 Q在边 BC上运动时，出发几秒后， $ △ P Q B $是等腰三角形？
(3) 当点 Q 在边 CA 上运动时，出发_______s 后， $ △ BCQ $是以 BC 或 BQ为底边的等腰三角形？

3. 解：(1) $(16 - t)\mathrm{cm}$
(2)当点$Q$在边$BC$上运动，$△ PQB$为等腰三角形时，则有$BP=BQ$，即$16 - t = 2t$，
解得$t = \frac{16}{3}$。经检验符合题意。
$\therefore$出发$\frac{16}{3}\mathrm{s}$后，$△ PQB$能形成等腰三角形。
(3) 11或12 解析：分两种情况讨论。
①当$△ BCQ$是以$BC$为底边的等腰三角形时，$CQ = BQ$，则$∠ C = ∠ CBQ$。
$\because ∠ ABC = 90°$，
$\therefore ∠ CBQ + ∠ ABQ = 90°$，$∠ A + ∠ C = 90°$。
$\therefore ∠ A = ∠ ABQ$。$\therefore BQ = AQ$。
$\therefore CQ = AQ = 10\ \mathrm{cm}$。$\therefore BC + CQ = 22\ \mathrm{cm}$。
$\therefore t = 22÷2 = 11(\mathrm{s})$。
②当$△ BCQ$是以$BQ$为底边的等腰三角形时，$CQ = BC$，
则$BC + CQ = 24\ \mathrm{cm}$，$\therefore t = 24÷2 = 12(\mathrm{s})$。
综上所述，当$t$为11或12时，$△ BCQ$是以$BC$或$BQ$为底边的等腰三角形。