2. 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动。在平行四边形ABCD中， AB=10， AD=4 $ \sqrt{10} $ ，其面积为120，点E为BC边上的任意一点，将 $ △ ABE $沿AE折叠，点B的对应点为点 $ B^{\prime} $ 。

(1) 如图6-2-6 $ \textcircled{1} $ ，若点 $ B^{\prime} $ 恰好落在AD上时，求证：四边形 $ B^{\prime} E C D $为平行四边形；
(2) 如图6-2-6 $ \textcircled{2} $ ，若 $ ∠ B A E=4 5° $ ，连接 $ B B^{\prime} $ ，并延长交CD于点G，求线段 $ B^{\prime} G $的长；
(3) 改变点 E的位置，将 $ △ A B E $沿 AE折叠，连接 $ B^{\prime} C $，当 $ △ B C B^{\prime} $为直角三角形时，求 $ B^{\prime} C $的长度。

2. (1)证明：由折叠可得$∠ BAE=∠ B'AE$，$∠ BEA=∠ B'EA$，$BE = B'E$，$AB = AB'$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB'// BE$，$AB// CD$。
$\therefore ∠ B'AE=∠ AEB$。
$\therefore ∠ BAE=∠ B'AE=∠ BEA=∠ B'EA$。
$\therefore AB// B'E$，$BE = B'E = AB = AB' = CD$。
$\therefore B'E// CD$。
$\therefore$四边形$B'ECD$是平行四边形。
(2)解：如答图6 - 2 - 2①，延长$AB'$交$CD$于点$H$。由折叠可得$∠ BAE=∠ B'AE$，$AB = AB'$。

$\because ∠ BAE = 45°$，
$\therefore ∠ BAB'=∠ BAE+∠ B'AE = 90°$。
$\therefore △ ABB'$是等腰直角三角形。
$\therefore ∠ ABB' = 45°$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = 10$，$AD = 4\sqrt{10}$，
$\therefore AB// CD$，$CD = AB' = AB = 10$。
$\therefore ∠ AHD=∠ BAB' = 90°$，
$∠ B'GH=∠ ABB' = 45°$。
$\therefore △ B'HG$是等腰直角三角形。
$\therefore B'H = HG$。
$\because S_{□ ABCD}=AB· AH = 120$，
$\therefore AH = 12$。
$\therefore B'H = AH - AB' = 2$。
$\therefore HG = 2$。
$\therefore B'G=\sqrt{B'H^{2}+HG^{2}}=2\sqrt{2}$。
(3)解：①当$∠ BCB' = 90°$时，延长$CB'$交$AD$于点$F$，如答图6 - 2 - 2②所示。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$CD = AB = 10$，$BC = AD = 4\sqrt{10}$。
$\therefore ∠ DFC=∠ BCB' = 90°$。
$\therefore CF⊥ AD$。
$\therefore S_{□ ABCD}=AD· CF = 120$。
$\because AD = 4\sqrt{10}$，
$\therefore CF = 3\sqrt{10}$。
$\therefore DF=\sqrt{CD^{2}-CF^{2}}=\sqrt{10}$。
$\therefore AF = AD - DF = 3\sqrt{10}$。
由折叠，得$AB' = AB = 10$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'F$中，$B'F=\sqrt{AB'^{2}-AF^{2}}=\sqrt{10}$。
$\therefore B'C = CF - B'F = 2\sqrt{10}$。
如答图6 - 2 - 2③，当$C$，$E$重合时，过点$C$作$CF⊥ AD$于点$F$。
$\because$当$CF⊥ AD$时，$AF = CF = 3\sqrt{10}$，
$\therefore ∠ ACF=∠ CAF = 45°$。
又$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ACB = 45°$。
$\therefore$当$C$，$E$重合时，点$B'$在直线$CF$上，
$\therefore ∠ BCB' = 90°$。
由折叠可得$B'C = BC = AD = 4\sqrt{10}$。
②当$∠ BB'C = 90°$时，如答图6 - 2 - 2④，设$BB'$与$AE$交于点$N$，作$AM⊥ BC$，
$\therefore S_{□ ABCD}=BC· AM = 120$，
$\therefore AM = 3\sqrt{10}$。
$\therefore BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{10}$。
由折叠可得$BE = B'E$，$BB'⊥ AE$，$BB' = 2BN$。
$\therefore ∠ B'BC=∠ BB'E$。
$\because ∠ BB'E+∠ CB'E=∠ B'BC+∠ BCB' = 90°$，
$\therefore ∠ BCB'=∠ CB'E$。
$\therefore B'E = CE$。
$\therefore BE = CE=\frac{1}{2}BC = 2\sqrt{10}$。
$\therefore ME = BE - BM=\sqrt{10}=BM$。
$\therefore AM$垂直平分$BE$。
$\therefore AE = AB = 10$。
$\because S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· AM=\frac{1}{2}AE· BN$，
$\therefore 2\sqrt{10}×3\sqrt{10}=10BN$。
$\therefore BN = 6$。
$\therefore BB' = 12$。
$\therefore B'C=\sqrt{BC^{2}-BB'^{2}}=4$。
综上所述，$B'C$的长度为$2\sqrt{10}$或$4$或$4\sqrt{10}$。

3. 【问题探究】一条线段沿某个方向平移一段距离后，连接对应端点可以构成一个平行四边形。我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题。

(1) 如图6-2-7 $ \textcircled{1} $ ，两条长度相等的线段AC和BN相交于点G， $ ∠ A G B=6 0° $ ，试说明线段 $ A B+C N≥ B N。 $
分析：考虑通过平移，将 AB，CN和BN集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明。
如图 6-2-7 $ \textcircled{1} $ ，作 AM//BN 且 AM=BN，连接 MN，CM，则四边形 ABNM是_______ （填四边形 ABNM 的形状）， $ \therefore AB=MN。 $
$\because A C = B N = A M, ∠ M A C = ∠ A G B = 6 0 ^ {\circ},$
$ \therefore △ A C M $是 ______ （填 $ △ A C M $的形状）， $ \therefore MA=MC=BN。 $
当 AB与 CN不平行时，M，N，C三点不在同一直线上，由三角形三边关系可知，MN+ NC ______ MC；（填“＞”“=”或“＜”）
当AB与CN平行时，M，N，C三点在同一直线上，此时 $ M N+N C=M C $ ， $ \therefore A B+ C N≥ B N。 $
【问题解决】
(2) 如图6-2-7 $ \textcircled{2} $ ，在 $ △ ABC $中，AC=BC， $ ∠ C=90° $ ，点M，N分别在BC，AC上，BN交AM于点G， $ ∠ AGB=150° $ ，AN=BM $ \sqrt{3}-1。 $
$ \textcircled{1} $求证： $ AM=BN $；
$ \textcircled{2} $求 AM的长。
【拓展应用】
(3) 如图6-2-7 $ \textcircled{3} $ ，在 $ △ ABC $中， $ ∠ C=45° $ ，点M，N分别在BC，AC上，BN交AM于点G。若 $ AM=BN $ $ ∠ AGB=120° $ $ AN=\sqrt{2} a $ $ BM=b-a(b＞a) $ ，直接写出AM的长。（用含a，b的代数式表示）

3. (1)平行四边形；等边三角形；$＞$
(2)①证明：作$BE// AN$且$BE = AN$，连接$AE$，如答图6 - 2 - 3①所示，$\therefore BE = BM$。
$\because AC = BC$，$∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ CAB=∠ CBA = 45°$。
$\because BE// AN$且$BE = AN$，
$\therefore$四边形$AEBN$是平行四边形。
$\therefore AE = BN$，$∠ ABE=∠ NAB=∠ MBA = 45°$。
$\therefore △ ABE≌△ ABM$。
$\therefore AM = AE = BN$。
②解：作$AH⊥ BE$交$BE$的延长线于点$H$，如答图6 - 2 - 3①所示。
$\because AE// BN$，
$\therefore ∠ GAE = 180°-∠ AGB = 30°$。
$\because △ ABE≌△ ABM$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BAM=\frac{1}{2}∠ GAE = 15°$。
$\therefore ∠ AEH=∠ BAE+∠ ABE = 60°$。
$\therefore ∠ HAE = 30°$。
设$AE = 2x$，则$HE = x$，$\therefore AH=\sqrt{AE^{2}-HE^{2}}=\sqrt{3}x$。
$\because ∠ HAB=∠ ABH = 45°$，
$\therefore BH = AH=\sqrt{3}x$。
$\therefore BE = BH - HE = (\sqrt{3}-1)x$。
$\because BE = BM=\sqrt{3}-1$，
$\therefore (\sqrt{3}-1)x=\sqrt{3}-1$，解得$x = 1$。
$\therefore AM = AE = 2x = 2$。

(3)解：$AM$的长为$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。 解析：作$MH// AN$且$MH = AN$，连接$NH$，$BH$，作$HI⊥ BC$，如答图6 - 2 - 3②所示，则四边形$AMHN$是平行四边形，
$\therefore ∠ HMI=∠ C = 45°$，$NH// AM$。
$\therefore MH = AN=\sqrt{2}a$，$NH = AM = BN$。
$\because ∠ NGM=∠ AGB = 120°$，$NH// AM$，
$\therefore ∠ HNB = 180°-∠ NGM = 60°$。
$\therefore △ HNB$是等边三角形。
$\therefore BH = NH = BN = AM$。
$\because MH=\sqrt{2}a$，$∠ HMI = 45°$，
$\therefore HI = MI$。
$\because HI^{2}+MI^{2}=HM^{2}$，
$\therefore HI = MI = a$。
$\because BM = b - a$，
$\therefore BI = BM + MI = b$。
$\therefore AM = BH=\sqrt{BI^{2}+HI^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$。