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8. 若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=7$，求$\frac{a - 4ab + b}{2a - 3ab + 2b}$的值.
答案
8. $\frac{3}{11}$
解析
【解析】
1. 由$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=7$，通分得$\frac{a+b}{ab}=7$，因此$a+b=7ab$；
2. 将$a+b=7ab$代入所求分式：
$\frac{a - 4ab + b}{2a - 3ab + 2b}=\frac{(a+b)-4ab}{2(a+b)-3ab}=\frac{7ab - 4ab}{2×7ab - 3ab}=\frac{3ab}{11ab}$；
3. 因为$ab≠0$（否则原式无意义），约分后得$\frac{3}{11}$。
【答案】
$\frac{3}{11}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通过已知条件推导$a+b$与$ab$的关系，运用整体代入思想将所求分式转化为仅含$ab$的形式，约分得到结果，需注意分式有意义的前提。
【难度系数】
0.7
1. 由$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=7$，通分得$\frac{a+b}{ab}=7$，因此$a+b=7ab$；
2. 将$a+b=7ab$代入所求分式：
$\frac{a - 4ab + b}{2a - 3ab + 2b}=\frac{(a+b)-4ab}{2(a+b)-3ab}=\frac{7ab - 4ab}{2×7ab - 3ab}=\frac{3ab}{11ab}$；
3. 因为$ab≠0$（否则原式无意义），约分后得$\frac{3}{11}$。
【答案】
$\frac{3}{11}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通过已知条件推导$a+b$与$ab$的关系，运用整体代入思想将所求分式转化为仅含$ab$的形式，约分得到结果，需注意分式有意义的前提。
【难度系数】
0.7
9. 已知$\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$($x$，$y$，$z$均不为零)，则$\frac{x + 3y}{3y - 2z}=$.
答案
9. $3$
解析
【解析】
设$\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=k$（$k≠0$），则$x=6k$，$y=4k$，$z=3k$。
将其代入$\frac{x + 3y}{3y - 2z}$得：
$\frac{6k + 3×4k}{3×4k - 2×3k}=\frac{6k + 12k}{12k - 6k}=\frac{18k}{6k}=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
比例的性质，代数式求值
【点评】
本题考查比例的性质及代数式求值，通过设参数$k$将$x$、$y$、$z$用含$k$的式子表示，再代入计算是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
设$\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=k$（$k≠0$），则$x=6k$，$y=4k$，$z=3k$。
将其代入$\frac{x + 3y}{3y - 2z}$得：
$\frac{6k + 3×4k}{3×4k - 2×3k}=\frac{6k + 12k}{12k - 6k}=\frac{18k}{6k}=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
比例的性质，代数式求值
【点评】
本题考查比例的性质及代数式求值，通过设参数$k$将$x$、$y$、$z$用含$k$的式子表示，再代入计算是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
10. 下列计算中，正确的是(
A.$\frac{2(y + z)}{x + 3(y + z)}=\frac{2}{x + 3}$
B.$\frac{x + y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2}{x + y}$
C.$\frac{(x - y)^{2}}{(y - x)^{2}}=-1$
D.$\frac{y - x}{2xy - x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{x - y}$
D
)A.$\frac{2(y + z)}{x + 3(y + z)}=\frac{2}{x + 3}$
B.$\frac{x + y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{2}{x + y}$
C.$\frac{(x - y)^{2}}{(y - x)^{2}}=-1$
D.$\frac{y - x}{2xy - x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{x - y}$
答案
10. D
解析
【解析】
逐个分析选项：
A选项：分式的分母$x + 3(y + z)$不能拆分为$(x + 3)(y + z)$，且未说明$y+z≠0$，无法直接约分，故A错误；
B选项：$x^2+y^2$不能分解为$(x+y)^2$，分子分母无公因式，无法约分，故B错误；
C选项：$(y-x)^2=(x-y)^2$，则$\frac{(x - y)^{2}}{(y - x)^{2}}=\frac{(x - y)^{2}}{(x - y)^{2}}=1$，故C错误；
D选项：分母$2xy - x^2 - y^2=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，分子$y-x=-(x-y)$，则原式$=\frac{-(x-y)}{-(x-y)^2}=\frac{1}{x-y}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的约分，因式分解
【点评】
本题考查分式的基本性质，需注意约分的前提是分子分母有公因式，同时要关注符号变化和因式分解的正确应用，避免因错误拆分或忽略条件导致出错。
【难度系数】
0.6
逐个分析选项：
A选项：分式的分母$x + 3(y + z)$不能拆分为$(x + 3)(y + z)$，且未说明$y+z≠0$，无法直接约分，故A错误；
B选项：$x^2+y^2$不能分解为$(x+y)^2$，分子分母无公因式，无法约分，故B错误；
C选项：$(y-x)^2=(x-y)^2$，则$\frac{(x - y)^{2}}{(y - x)^{2}}=\frac{(x - y)^{2}}{(x - y)^{2}}=1$，故C错误；
D选项：分母$2xy - x^2 - y^2=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$，分子$y-x=-(x-y)$，则原式$=\frac{-(x-y)}{-(x-y)^2}=\frac{1}{x-y}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的约分，因式分解
【点评】
本题考查分式的基本性质，需注意约分的前提是分子分母有公因式，同时要关注符号变化和因式分解的正确应用，避免因错误拆分或忽略条件导致出错。
【难度系数】
0.6
11. 已知$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=5$，求$\frac{3x^{2}+xy - 3y^{2}}{2x^{2}-xy - 2y^{2}}$的值.
答案
11. $\frac{14}{11}$
解析
【解析】
已知$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=5$，通分得：
$\frac{y^2 - x^2}{xy}=5$，即$y^2 - x^2=5xy$，故$x^2 - y^2=-5xy$。
将所求分式变形：
分子$3x^2 + xy - 3y^2=3(x^2 - y^2)+xy$，
分母$2x^2 - xy - 2y^2=2(x^2 - y^2)-xy$。
把$x^2 - y^2=-5xy$代入：
分子$=3×(-5xy)+xy=-14xy$，
分母$=2×(-5xy)-xy=-11xy$，
则原式$=\frac{-14xy}{-11xy}=\frac{14}{11}$（$xy≠0$，保证原式有意义）。
【答案】
$\frac{14}{11}$
【知识点】
分式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题先通过已知条件变形得到$x^2 - y^2$与$xy$的关系，再将所求分式拆分为含$x^2 - y^2$的形式，利用整体代入法求值，考查了分式的变形与整体代入的解题技巧。
【难度系数】
0.6
已知$\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=5$，通分得：
$\frac{y^2 - x^2}{xy}=5$，即$y^2 - x^2=5xy$，故$x^2 - y^2=-5xy$。
将所求分式变形：
分子$3x^2 + xy - 3y^2=3(x^2 - y^2)+xy$，
分母$2x^2 - xy - 2y^2=2(x^2 - y^2)-xy$。
把$x^2 - y^2=-5xy$代入：
分子$=3×(-5xy)+xy=-14xy$，
分母$=2×(-5xy)-xy=-11xy$，
则原式$=\frac{-14xy}{-11xy}=\frac{14}{11}$（$xy≠0$，保证原式有意义）。
【答案】
$\frac{14}{11}$
【知识点】
分式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题先通过已知条件变形得到$x^2 - y^2$与$xy$的关系，再将所求分式拆分为含$x^2 - y^2$的形式，利用整体代入法求值，考查了分式的变形与整体代入的解题技巧。
【难度系数】
0.6
12. 若$x$为整数，且$\frac{4x - 4}{x^{2}-1}$的值为整数，求所有符合条件的$x$的值的和是
$-7$
.答案
12. $-7$
解析
【解析】
1. 对原式因式分解并化简：
$\frac{4x - 4}{x^2 - 1} = \frac{4(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$
2. 由分式有意义的条件，分母不能为0，得$x ≠ 1$且$x ≠ -1$，约分后得：
$\frac{4}{x + 1}$
3. 因为$x$为整数，且$\frac{4}{x + 1}$的值为整数，所以$x + 1$是4的整数约数，即$x + 1 = \pm1, \pm2, \pm4$。
4. 分别求解并取舍：
当$x + 1 = 1$时，$x = 0$（符合条件）；
当$x + 1 = -1$时，$x = -2$（符合条件）；
当$x + 1 = 2$时，$x = 1$（舍去，因分母为0）；
当$x + 1 = -2$时，$x = -3$（符合条件）；
当$x + 1 = 4$时，$x = 3$（符合条件）；
当$x + 1 = -4$时，$x = -5$（符合条件）。
5. 符合条件的$x$的值为0，-2，-3，3，-5，它们的和为：$0 + (-2) + (-3) + 3 + (-5) = -7$。
【答案】
-7
【知识点】
分式化简、分式有意义条件、整数约数分析
【点评】
本题考查分式与整数性质的综合应用，解题关键是先化简分式，牢记分式有意义的分母不为0的限制条件，避免出现增根，同时需全面考虑约数的正负情况，确保不遗漏符合条件的解。
【难度系数】
0.4
1. 对原式因式分解并化简：
$\frac{4x - 4}{x^2 - 1} = \frac{4(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$
2. 由分式有意义的条件，分母不能为0，得$x ≠ 1$且$x ≠ -1$，约分后得：
$\frac{4}{x + 1}$
3. 因为$x$为整数，且$\frac{4}{x + 1}$的值为整数，所以$x + 1$是4的整数约数，即$x + 1 = \pm1, \pm2, \pm4$。
4. 分别求解并取舍：
当$x + 1 = 1$时，$x = 0$（符合条件）；
当$x + 1 = -1$时，$x = -2$（符合条件）；
当$x + 1 = 2$时，$x = 1$（舍去，因分母为0）；
当$x + 1 = -2$时，$x = -3$（符合条件）；
当$x + 1 = 4$时，$x = 3$（符合条件）；
当$x + 1 = -4$时，$x = -5$（符合条件）。
5. 符合条件的$x$的值为0，-2，-3，3，-5，它们的和为：$0 + (-2) + (-3) + 3 + (-5) = -7$。
【答案】
-7
【知识点】
分式化简、分式有意义条件、整数约数分析
【点评】
本题考查分式与整数性质的综合应用，解题关键是先化简分式，牢记分式有意义的分母不为0的限制条件，避免出现增根，同时需全面考虑约数的正负情况，确保不遗漏符合条件的解。
【难度系数】
0.4
