登录
16. 如图，把 $ 6 $ 张长为 $ a $、宽为 $ b(a ＞ b) $ 的小长方形纸片不重叠地放在长方形 $ ABCD $ 内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示，设这两个长方形的面积的差为 $ S $.当 $ BC $ 的长度变化时，按照同样的放置方式，$ S $ 始终保持不变，则 $ a $，$ b $ 满足(
A.$ a = 1.5b $
B.$ a = 2.5b $
C.$ a = 3b $
D.$ a = 2b $
D
)A.$ a = 1.5b $
B.$ a = 2.5b $
C.$ a = 3b $
D.$ a = 2b $
答案
16. D
解析
【解析】
设BC的长度为$ x $。
上面阴影部分的面积为$ a(x - 4b) $，下面阴影部分的面积为$ 2b(x - a) $。
则面积差$ S = a(x - 4b) - 2b(x - a) $，展开化简得：
$ S = (a - 2b)x - 2ab $。
因为当$ BC $的长度$ x $变化时，$ S $始终保持不变，所以$ x $的系数必须为0，即$ a - 2b = 0 $，解得$ a = 2b $。
【答案】
D
【知识点】
整式的运算，用字母表示数
【点评】
本题通过设未知数表示面积差，利用“面积差与BC长度无关”的条件，推导得出$ a $、$ b $的关系，考查了整式运算的应用，关键是理解“$ S $始终不变”的数学含义。
【难度系数】
0.6
设BC的长度为$ x $。
上面阴影部分的面积为$ a(x - 4b) $，下面阴影部分的面积为$ 2b(x - a) $。
则面积差$ S = a(x - 4b) - 2b(x - a) $，展开化简得：
$ S = (a - 2b)x - 2ab $。
因为当$ BC $的长度$ x $变化时，$ S $始终保持不变，所以$ x $的系数必须为0，即$ a - 2b = 0 $，解得$ a = 2b $。
【答案】
D
【知识点】
整式的运算，用字母表示数
【点评】
本题通过设未知数表示面积差，利用“面积差与BC长度无关”的条件，推导得出$ a $、$ b $的关系，考查了整式运算的应用，关键是理解“$ S $始终不变”的数学含义。
【难度系数】
0.6
17. 两个边长分别为 $ a $，$ b(a ＞ b) $ 的正方形如图 $ 1 $ 放置，现在取 $ BD $ 的中点 $ P $，连接 $ PA $，$ PE $，把图形分割成三部分，分别标记①，②，③，如图 $ 2 $，再把对应的图形面积分别记为 $ S_1 $，$ S_2 $，$ S_3 $.
（1）用字母 $ a $，$ b $ 分别表示 $ S_1 $，$ S_2 $；
（2）若 $ a - b = 2 $，$ ab = 15 $，求 $ S_1 + S_2 $；
（3）若 $ S_1 + S_2 = 3 $，$ ab = 1 $，求 $ S_3 $.
（1）用字母 $ a $，$ b $ 分别表示 $ S_1 $，$ S_2 $；
（2）若 $ a - b = 2 $，$ ab = 15 $，求 $ S_1 + S_2 $；
（3）若 $ S_1 + S_2 = 3 $，$ ab = 1 $，求 $ S_3 $.
答案
17. (1) $ S_{1}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}(a + b)× b = \dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2} $，
$ S_{2}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}(a + b)× a = \dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2} $.
(2) $ S_{1}+S_{2}=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2}+\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2}=\dfrac{1}{4}(a^{2}+2ab + b^{2})=\dfrac{1}{4}(a + b)^{2}=\dfrac{1}{4}[(a - b)^{2}+4ab]=\dfrac{1}{4}(4 + 60)=16 $.
(3) $ \because S_{1}+S_{2}=3 $，$ \therefore \dfrac{1}{4}(a + b)^{2}=3 $，
$ \therefore (a + b)^{2}=12 $，
$ S_{3}=a^{2}+b^{2}-(S_{1}+S_{2})=a^{2}+b^{2}-3=(a + b)^{2}-2ab - 3=12 - 2 - 3=7 $.
$ S_{2}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}(a + b)× a = \dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2} $.
(2) $ S_{1}+S_{2}=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2}+\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2}=\dfrac{1}{4}(a^{2}+2ab + b^{2})=\dfrac{1}{4}(a + b)^{2}=\dfrac{1}{4}[(a - b)^{2}+4ab]=\dfrac{1}{4}(4 + 60)=16 $.
(3) $ \because S_{1}+S_{2}=3 $，$ \therefore \dfrac{1}{4}(a + b)^{2}=3 $，
$ \therefore (a + b)^{2}=12 $，
$ S_{3}=a^{2}+b^{2}-(S_{1}+S_{2})=a^{2}+b^{2}-3=(a + b)^{2}-2ab - 3=12 - 2 - 3=7 $.
解析
【解析】
（1）$\because P$是$BD$的中点，$BD=a+b$
$\therefore S_{1}=\dfrac{1}{2}× b×\dfrac{1}{2}(a+b)=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2}$
$S_{2}=\dfrac{1}{2}× a×\dfrac{1}{2}(a+b)=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2}$
（2）$S_{1}+S_{2}=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2}+\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2}$
$=\dfrac{1}{4}(a^{2}+2ab + b^{2})$
$=\dfrac{1}{4}(a + b)^{2}$
$\because a - b = 2$，$ab = 15$
$\therefore (a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=2^{2}+4×15=4+60=64$
$\therefore S_{1}+S_{2}=\dfrac{1}{4}×64=16$
（3）$\because S_{1}+S_{2}=3$
$\therefore \dfrac{1}{4}(a + b)^{2}=3$，即$(a + b)^{2}=12$
$\because S_{3}=a^{2}+b^{2}-(S_{1}+S_{2})$，且$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$
又$\because ab=1$
$\therefore a^{2}+b^{2}=12-2×1=10$
$\therefore S_{3}=10-3=7$
【答案】
（1）$S_{1}=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2}$，$S_{2}=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2}$；
（2）$\boldsymbol{16}$；
（3）$\boldsymbol{7}$
【知识点】
正方形面积公式，完全平方公式，图形面积分割
【点评】
本题考查了正方形面积与完全平方公式的综合应用，通过图形分割转化面积，灵活运用完全平方公式进行变形计算是关键。
【难度系数】
0.6
（1）$\because P$是$BD$的中点，$BD=a+b$
$\therefore S_{1}=\dfrac{1}{2}× b×\dfrac{1}{2}(a+b)=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2}$
$S_{2}=\dfrac{1}{2}× a×\dfrac{1}{2}(a+b)=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2}$
（2）$S_{1}+S_{2}=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2}+\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2}$
$=\dfrac{1}{4}(a^{2}+2ab + b^{2})$
$=\dfrac{1}{4}(a + b)^{2}$
$\because a - b = 2$，$ab = 15$
$\therefore (a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab=2^{2}+4×15=4+60=64$
$\therefore S_{1}+S_{2}=\dfrac{1}{4}×64=16$
（3）$\because S_{1}+S_{2}=3$
$\therefore \dfrac{1}{4}(a + b)^{2}=3$，即$(a + b)^{2}=12$
$\because S_{3}=a^{2}+b^{2}-(S_{1}+S_{2})$，且$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$
又$\because ab=1$
$\therefore a^{2}+b^{2}=12-2×1=10$
$\therefore S_{3}=10-3=7$
【答案】
（1）$S_{1}=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}b^{2}$，$S_{2}=\dfrac{1}{4}ab + \dfrac{1}{4}a^{2}$；
（2）$\boldsymbol{16}$；
（3）$\boldsymbol{7}$
【知识点】
正方形面积公式，完全平方公式，图形面积分割
【点评】
本题考查了正方形面积与完全平方公式的综合应用，通过图形分割转化面积，灵活运用完全平方公式进行变形计算是关键。
【难度系数】
0.6
