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【例】数学老师将一次模拟考试的 11 名学生的成绩（单位：分）统计如下：99，55，85，77，90，90，82，59，82，80，60。按照组内离差平方和最小的原则，把这 11 名学生的成绩分为两组。
解：
【规律方法】
根据组内离差平方和最小的原则，将数据分组的一般步骤
（1）将这组数据按从小到大的顺序排列。
（2）列出所有可能的合理分组方式。
（3）计算每组的平均数和组内离差平方和。
（4）对比不同分组的组内离差平方和，找出使组内离差平方和最小的分组。离差平方和越小，数据越集中，稳定性越高。
解：
【规律方法】
根据组内离差平方和最小的原则，将数据分组的一般步骤
（1）将这组数据按从小到大的顺序排列。
（2）列出所有可能的合理分组方式。
（3）计算每组的平均数和组内离差平方和。
（4）对比不同分组的组内离差平方和，找出使组内离差平方和最小的分组。离差平方和越小，数据越集中，稳定性越高。
答案
解:符合要求的分组是{55,59,60}和{77,80,82,82,85,90,90,99}.
解析
【解析】
1. 将11名学生的成绩按从小到大排列：55，59，60，77，80，82，82，85，90，90，99。
2. 列出所有合理分组方式：分为(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)这五种数量搭配的连续分组。
3. 分别计算每种分组的组内离差平方和总和：
分组(1,10)：总离差平方和较大；
分组(2,9)：总离差平方和大于(3,8)分组；
分组(3,8)：第一组{55,59,60}的平均数为58，组内离差平方和为14；第二组{77,80,82,82,85,90,90,99}的平均数为83.125，组内离差平方和为491，总离差平方和为505；
分组(4,7)：总离差平方和约为549.53，大于505；
分组(5,6)：总离差平方和为732.8，大于505。
4. 对比可知，分组{55,59,60}和{77,80,82,82,85,90,90,99}的总组内离差平方和最小，符合要求。
【答案】
{55,59,60}和{77,80,82,82,85,90,90,99}
【知识点】
组内离差平方和，数据分组，数据稳定性
【点评】
本题考查根据组内离差平方和最小原则进行数据分组，需掌握分组的规范步骤，通过计算不同分组的离差平方和并对比，理解离差平方和越小数据越集中、稳定性越高的特点，提升数据分析与计算能力。
【难度系数】
0.3
1. 将11名学生的成绩按从小到大排列：55，59，60，77，80，82，82，85，90，90，99。
2. 列出所有合理分组方式：分为(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6)这五种数量搭配的连续分组。
3. 分别计算每种分组的组内离差平方和总和：
分组(1,10)：总离差平方和较大；
分组(2,9)：总离差平方和大于(3,8)分组；
分组(3,8)：第一组{55,59,60}的平均数为58，组内离差平方和为14；第二组{77,80,82,82,85,90,90,99}的平均数为83.125，组内离差平方和为491，总离差平方和为505；
分组(4,7)：总离差平方和约为549.53，大于505；
分组(5,6)：总离差平方和为732.8，大于505。
4. 对比可知，分组{55,59,60}和{77,80,82,82,85,90,90,99}的总组内离差平方和最小，符合要求。
【答案】
{55,59,60}和{77,80,82,82,85,90,90,99}
【知识点】
组内离差平方和，数据分组，数据稳定性
【点评】
本题考查根据组内离差平方和最小原则进行数据分组，需掌握分组的规范步骤，通过计算不同分组的离差平方和并对比，理解离差平方和越小数据越集中、稳定性越高的特点，提升数据分析与计算能力。
【难度系数】
0.3
变式训练
某机床加工标准直径为 100 mm 的零件，为检验其加工的零件的质量，现从中抽取其加工的 12 件零件，测量它们的直径（单位：mm），所得数据如下：96，98，99，99，100，100，101，102，102，103，103，105。
（1）按照组内离差平方和最小的原则，将这 12 个数据平均分成 3 组，请计算这 3 组数据的组内离差平方和。
（2）由（1）所得的结果，判断哪组零件的差异较小。
某机床加工标准直径为 100 mm 的零件，为检验其加工的零件的质量，现从中抽取其加工的 12 件零件，测量它们的直径（单位：mm），所得数据如下：96，98，99，99，100，100，101，102，102，103，103，105。
（1）按照组内离差平方和最小的原则，将这 12 个数据平均分成 3 组，请计算这 3 组数据的组内离差平方和。
（2）由（1）所得的结果，判断哪组零件的差异较小。
答案
解:(1)将这12个数据按照从小到大的顺序排列后平均分成3组如下:
第一组:96,98,99,99;
第二组:100,100,101,102;
第三组:102,103,103,105.
这3组数据的组内离差平方和为6+2.75+4.75=13.5.
(2)第二组零件的差异较小.
第一组:96,98,99,99;
第二组:100,100,101,102;
第三组:102,103,103,105.
这3组数据的组内离差平方和为6+2.75+4.75=13.5.
(2)第二组零件的差异较小.
解析
【解析】
（1）将12个数据从小到大排列后平均分成3组：
第一组：96，98，99，99
第一组平均数$\bar{x}_1=\frac{96+98+99+99}{4}=98$，组内离差平方和为$(96-98)^2+(98-98)^2+(99-98)^2+(99-98)^2=6$；
第二组：100，100，101，102
第二组平均数$\bar{x}_2=\frac{100+100+101+102}{4}=100.75$，组内离差平方和为$(100-100.75)^2+(100-100.75)^2+(101-100.75)^2+(102-100.75)^2=2.75$；
第三组：102，103，103，105
第三组平均数$\bar{x}_3=\frac{102+103+103+105}{4}=103.25$，组内离差平方和为$(102-103.25)^2+(103-103.25)^2+(103-103.25)^2+(105-103.25)^2=4.75$；
三组组内离差平方和总和为$6+2.75+4.75=13.5$。
（2）比较三组组内离差平方和，$2.75＜4.75＜6$，根据组内离差平方和越小数据差异越小，可知第二组零件差异较小。
【答案】
（1）三组组内离差平方和分别为6、2.75、4.75，总和为13.5；
（2）第二组零件的差异较小。
【知识点】
组内离差平方和计算、数据分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算与实际应用，需掌握有序数据分组方法及离差平方和计算步骤，通过统计量判断数据差异，体现统计在生产质量检验中的作用。
【难度系数】
0.6
（1）将12个数据从小到大排列后平均分成3组：
第一组：96，98，99，99
第一组平均数$\bar{x}_1=\frac{96+98+99+99}{4}=98$，组内离差平方和为$(96-98)^2+(98-98)^2+(99-98)^2+(99-98)^2=6$；
第二组：100，100，101，102
第二组平均数$\bar{x}_2=\frac{100+100+101+102}{4}=100.75$，组内离差平方和为$(100-100.75)^2+(100-100.75)^2+(101-100.75)^2+(102-100.75)^2=2.75$；
第三组：102，103，103，105
第三组平均数$\bar{x}_3=\frac{102+103+103+105}{4}=103.25$，组内离差平方和为$(102-103.25)^2+(103-103.25)^2+(103-103.25)^2+(105-103.25)^2=4.75$；
三组组内离差平方和总和为$6+2.75+4.75=13.5$。
（2）比较三组组内离差平方和，$2.75＜4.75＜6$，根据组内离差平方和越小数据差异越小，可知第二组零件差异较小。
【答案】
（1）三组组内离差平方和分别为6、2.75、4.75，总和为13.5；
（2）第二组零件的差异较小。
【知识点】
组内离差平方和计算、数据分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的计算与实际应用，需掌握有序数据分组方法及离差平方和计算步骤，通过统计量判断数据差异，体现统计在生产质量检验中的作用。
【难度系数】
0.6
1. 学校运动会上，5 名学生的跳远成绩（单位：m）分别是 4.2，4.5，4.8，5.2，5.5，体育老师要按照组内离差平方和最小的原则将学生成绩分为两组，用于后续训练安排，求分组方案。
答案
1.解:应当分为{4.2,4.5,4.8}和{5.2,5.5}两组.
解析
【解析】
1. 列出所有可能的两组分组类型：①一组1个数据，一组4个数据；②一组3个数据，一组2个数据。
2. 计算不同分组的组内离差平方和总和：
对于1个和4个的分组，组内离差平方和总和最小为0.5474；
对于分组{4.2,4.5,4.8}和{5.2,5.5}：
第一组均值为$\frac{4.2+4.5+4.8}{3}=4.5$，组内离差平方和为$(4.2-4.5)^2+(4.5-4.5)^2+(4.8-4.5)^2=0.18$；
第二组均值为$\frac{5.2+5.5}{2}=5.35$，组内离差平方和为$(5.2-5.35)^2+(5.5-5.35)^2=0.045$；
总和为$0.18+0.045=0.225$。
其他3个和2个的分组，组内离差平方和总和均大于0.225。
3. 比较可知0.225为最小的组内离差平方和总和，对应分组为最优分组。
【答案】
应当分为{4.2,4.5,4.8}和{5.2,5.5}两组。
【知识点】
组内离差平方和，数据分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的实际应用，需通过计算不同分组的离差平方和总和找到最优分组，核心是掌握离差平方和的计算方法。
【难度系数】
0.6
1. 列出所有可能的两组分组类型：①一组1个数据，一组4个数据；②一组3个数据，一组2个数据。
2. 计算不同分组的组内离差平方和总和：
对于1个和4个的分组，组内离差平方和总和最小为0.5474；
对于分组{4.2,4.5,4.8}和{5.2,5.5}：
第一组均值为$\frac{4.2+4.5+4.8}{3}=4.5$，组内离差平方和为$(4.2-4.5)^2+(4.5-4.5)^2+(4.8-4.5)^2=0.18$；
第二组均值为$\frac{5.2+5.5}{2}=5.35$，组内离差平方和为$(5.2-5.35)^2+(5.5-5.35)^2=0.045$；
总和为$0.18+0.045=0.225$。
其他3个和2个的分组，组内离差平方和总和均大于0.225。
3. 比较可知0.225为最小的组内离差平方和总和，对应分组为最优分组。
【答案】
应当分为{4.2,4.5,4.8}和{5.2,5.5}两组。
【知识点】
组内离差平方和，数据分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的实际应用，需通过计算不同分组的离差平方和总和找到最优分组，核心是掌握离差平方和的计算方法。
【难度系数】
0.6
2. 某公司 9 个月份的销售额（单位：万元）分别为 20，25，30，35，40，45，50，55，60，按组内离差平方和最小的原则将销售额分为两组，应该怎样分组？
答案
2.解:应分为{20,25,30,35,40}和{45,50,55,60}两组,或{20,25,30,35}和{40,45,50,55,60}两组.
解析
【解析】
根据组内离差平方和最小的原则，尝试在相邻销售额数据间设置分割点，计算不同分组下两组的离差平方和之和：
1. 依次验证各分割点对应的分组离差平方和之和；
2. 当分割点在35与40之间时，分组为{20,25,30,35}和{40,45,50,55,60}，此时组内离差平方和之和较小；
3. 当分割点在40与45之间时，分组为{20,25,30,35,40}和{45,50,55,60}，组内离差平方和之和同样达到最小；
这两种分组为满足组内离差平方和最小原则的最优分组。
【答案】
应分为{20,25,30,35,40}和{45,50,55,60}两组，或{20,25,30,35}和{40,45,50,55,60}两组。
【知识点】
组内离差平方和最小化、数据最优分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的实际应用及数据分组的最优原则，需通过尝试不同分割点并计算离差平方和来确定分组，锻炼了数据分析与计算能力。
【难度系数】
0.3
根据组内离差平方和最小的原则，尝试在相邻销售额数据间设置分割点，计算不同分组下两组的离差平方和之和：
1. 依次验证各分割点对应的分组离差平方和之和；
2. 当分割点在35与40之间时，分组为{20,25,30,35}和{40,45,50,55,60}，此时组内离差平方和之和较小；
3. 当分割点在40与45之间时，分组为{20,25,30,35,40}和{45,50,55,60}，组内离差平方和之和同样达到最小；
这两种分组为满足组内离差平方和最小原则的最优分组。
【答案】
应分为{20,25,30,35,40}和{45,50,55,60}两组，或{20,25,30,35}和{40,45,50,55,60}两组。
【知识点】
组内离差平方和最小化、数据最优分组
【点评】
本题考查组内离差平方和的实际应用及数据分组的最优原则，需通过尝试不同分割点并计算离差平方和来确定分组，锻炼了数据分析与计算能力。
【难度系数】
0.3
