20. (本小题 6 分)快递公司提供纸箱包装服务.现有小号、中号和大号三种型号的长方体包装纸箱,底面规格如下表.

已知甲、乙两件礼品的底面都是正方形,底面积分别为$80\mathrm{cm}^{2}$,$180\mathrm{cm}^{2}$.若要将它们合在一个包装箱中寄出,底面摆放方式如图所示,从节约材料的角度考虑,应选择哪种底面型号的纸箱? 请说明理由.

解：
1. 求甲、乙礼品底面边长
甲礼品底面积为 $80 \, \mathrm{cm}^2$，底面为正方形，边长 $a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \, \mathrm{cm}$；
乙礼品底面积为 $180 \, \mathrm{cm}^2$，底面为正方形，边长 $b = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13.42 \, \mathrm{cm}$。
2. 确定组合底面尺寸
由摆放方式知，两件礼品底面需并列放置，组合后底面的长为 $a + b$，宽为 $b$（$b ＞ a$）。
计算 $a + b = 4\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 10\sqrt{5} \approx 22.36 \, \mathrm{cm}$，宽为 $b \approx 13.42 \, \mathrm{cm}$。
3. 选择纸箱型号
小号纸箱：长 $20 \, \mathrm{cm} ＜ 22.36 \, \mathrm{cm}$，无法容纳；
中号纸箱：长 $25 \, \mathrm{cm} ＞ 22.36 \, \mathrm{cm}$，宽 $20 \, \mathrm{cm} ＞ 13.42 \, \mathrm{cm}$，可容纳；
大号纸箱：尺寸更大，但中号已满足需求且更节约材料。
结论：应选择中号纸箱。

21. (本小题 8 分)已知实数$a$与$b$满足$b=\sqrt{4 - a}$.
(1) 写出$a$与$b$的取值范围.
(2) 已知$\sqrt{3}b$是有理数.
① 当$a$是正整数时,求$b$的值;
② 当$a$是整数时,将符合条件的$a$的值从大到小排列,请直接写出排在第 $3$ 个和第 $11$ 个的数.

(1)$a ≤ 4$，$b ≥ 0$；(2)①$\sqrt{3}$或$0$；②$-8$，$-296$。

(1) 由二次根式定义，得$4 - a ≥ 0$，则$a ≤ 4$；$b = \sqrt{4 - a} ≥ 0$，故$a ≤ 4$，$b ≥ 0$。
(2) ① $a$是正整数，且$a ≤ 4$，则$a = 1,2,3,4$。
当$a = 1$时，$b = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$，$\sqrt{3}b = \sqrt{3} × \sqrt{3} = 3$（有理数）；
当$a = 4$时，$b = \sqrt{4 - 4} = 0$，$\sqrt{3}b = 0$（有理数）。
故$b$的值为$\sqrt{3}$或$0$。
② 由$\sqrt{3}b$是有理数，得$3(4 - a)$是完全平方数，设$3(4 - a) = (3n)^2$（$n$为非负整数），则$a = 4 - 3n^2$。
$a$的值从大到小为：$4,1,-8,-23,-44,-71,-104,-143,-188,-239,-296,···$
第3个数为$-8$，第11个数为$-296$。