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12. (2025，吉林，15)如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 在边 $BC$ 上，连接 $AE$，$DF$，$∠ BAE = ∠ CDF$.
（1）求证：$△ ABE ≌ △ DCF$.
（2）当 $AB = 12$，$DF = 13$ 时，求 $BE$ 的长.
]
（1）求证：$△ ABE ≌ △ DCF$.
（2）当 $AB = 12$，$DF = 13$ 时，求 $BE$ 的长.
]答案
12. (1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°.
在△ABE和△DCF中，$\begin{cases} ∠ BAE=∠ CDF, \\ AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(ASA).
(2)解：由△ABE≌△DCF，得AE=DF=13.
∵AB=12，
∴在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}$=5.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°.
在△ABE和△DCF中，$\begin{cases} ∠ BAE=∠ CDF, \\ AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$
∴△ABE≌△DCF(ASA).
(2)解：由△ABE≌△DCF，得AE=DF=13.
∵AB=12，
∴在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{AE^{2}-AB^{2}}$=5.
1. (2023，兰州，12)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $BA$ 的延长线上一点，$F$ 为 $CE$ 的中点，以点 $B$ 为圆心，$BF$ 长为半径的圆弧过 $AD$ 与 $CE$ 的交点 $G$，连接 $BG$.若 $AB = 4$，$CE = 10$，则 $AG =$(
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
]
C
).A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
]答案
1. C
2. (2025，河北，11)如图，将矩形 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 折叠，点 $A$ 落在 $A'$ 处，$A'D$ 交 $BC$ 于点 $E$.将 $△ CDE$ 沿 $DE$ 折叠，点 $C$ 落在 $△ BDE$ 内的 $C'$ 处，下列结论一定正确的是(
A.$∠ 1 = 45°-α$
B.$∠ 1 = α$
C.$∠ 2 = 90°-α$
D.$∠ 2 = 2α$
]
D
).A.$∠ 1 = 45°-α$
B.$∠ 1 = α$
C.$∠ 2 = 90°-α$
D.$∠ 2 = 2α$
]
答案
2. D
3. 在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$△ ABO$ 为等边三角形，$AC = 16\ \mathrm{cm}$，则 $AB =$
8 cm
，$BC =$$8\sqrt{3}$ cm
.答案
3. 8 cm；$8\sqrt{3}$ cm
4. (2025，江西，12)如图，在矩形纸片 $ABCD$ 中，沿着点 $A$ 折叠纸片并展开，$AB$ 的对应边为 $AB'$，折痕与边 $BC$ 交于点 $P$.当 $AB'$ 与 $AB$，$AD$ 中任意一边的夹角为 $15°$ 时，$∠ APB$ 的度数可以是
]
82.5°或52.5°或37.5°
.]答案
4. 82.5°或52.5°或37.5° 【提示】由矩形的性质，得∠B=∠BAD=90°. 由折叠，得∠PAB′=∠PAB=$\frac{1}{2}$∠BAB′. 分三种情况讨论：∠BAB′=15°；∠DAB′=15°，且点B′与点B在直线AD同侧；∠DAB′=15°，且点B′与点B在直线AD异侧.
5. 如图，延长矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 至点 $E$，使 $AE = AC$，$F$ 为 $CE$ 的中点.求证：$DF ⊥ BF$.
答案
5. 证明：如图，连接AF.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=90°.
∵F为CE的中点，
∴BF为Rt△BCE的斜边上的中线，
∴BF=CF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABF=∠DCF.
又AB=DC，
∴△CDF≌△BAF(SAS)，
∴∠CFD=∠BFA.
∵AC=AE，CF=EF，
∴AF⊥EC，
∴∠DFA+∠DFC=90°，
∴∠DFA+∠BFA=90°，
∴DF⊥BF.
